BD)»=(BE)*— -(DE

Mais l’intervalle BC étant égal à CD = AB, on aura encore DE = AB ( i5, liv. 4)» ou D E = 1 et BE = 2 . On aura donc

(BD)» = 4 - i=3;

d’où

BD — s/5;

ce qu’il fallait démontrer , et ce qu’on ne pouvait faire sans la règle. Cette proposition est la 12 e du livre i3 d’Euclide.

5. De la définition précédente (1 ), il résulte qu’à la Géométrie du compas appartiennent tous les problèmes que l’on peut résoudre avec le seul compas, quoiqu’on nd puisse pas les démontrer avec ce seul instrument. Tel est le problème précédent (2).

4. Cette Géométrie sera, comme on le verra par les exemples, d’un très grand usage dans la pratique pour trouver des points avec la plus grande précision possible, et même beaucoup plus promptement avec le seul compas , qu’en y joignant le secours de la règle.

5- Nous résoudrons donc les problèmes avec le seul compas, et l’on pourra ensuite, pour les

démonstrations , se servir de constructions faites, suivant l’usage, avec la règle et le compas. C’est pourquoi nous citerons les propositions et les livres d’Euclide.

6. On aura atteint complètement le but de ce traité , si l’on n’a omis aucun des élémens nécessaires pour que l’on puisse , avec le seul compas , déterminer , dans quelque problème que ce soit, tous les points qui jusqu’ici n’ont pu être déterminés qu’avec la règle et le compas réunis.

7 . Nous ne placerons pourtant pas ici tous ces problèmes ; mais après avoir démontré les élémens nécessaires et suffisans pour tous, nous en résoudrons un grand nombre des principaux , et surtout ceux qui sembleront les plus utiles, ou préférables à cause de leur élégance.

8. Nous ajouterons ici en faveur des artistes, pour lesquels , en grande partie , cet ouvrage est écrit, que, bien convaincus de l'importance des erreurs qui résultent de l’écart et du rapprochement de branches du compas pour obtenir avec précision des ouvertures différentes , nous aurons soin de résoudre les problèmes avec le plus petit nombre possible d’ouvertures de compas. Il serait même mieux que l’artiste eût à sa disposition autant de ces compas fidèles

tIVRE PREMIER.

f ainsi appelés, parce qu’on peut s’assurer qu’ils conservent exactement l’ouverture donnée) , qu’il y a d’ouvertures exigées par la solution du problème ; car il arrivera souvent que nous serons obligés de nous servir plusieurs fois de la même ouverture, après en avoir employé une ou plusieurs autres : alors , sans élargir ou resserrer un seul compas , nous reprendrons le compas mis de côté qui conserve cette ouverture. C’est pourquoi nous appellerons quelquefois du nom de premier, second, troisième compas, les ouvertures successives avec lesquelles on aura résolu le problème.

9. D’ailleurs, comme pour la précision pratique de la position d’un point , il importe que la section des lignes qui le déterminent se fasse à angle droit ou approchant , nous ferons toujours en sorte qu’un arc en coupe un autre, ou à angle droit, ou au moins sous un angle qui en diffère peu.

10. Afin d’être plus courts, sans cependant devenir obscurs, en indiquant la construction des figures , nous emploierons souvent des expressions abrégées , que la seule inspection de la figure fera bientôt comprendre. Par exemple , dans la figure 2 , au lieu de dire j « Avec le rayon AB, et du centre C, soit dé-*

» crit un arc qui coupe la circonférence BCD » au point C ; puis avec le même rayon et du n centre C, qu'on décrive un arc qui coupe la » même circonférence en D , etc. » ; nous dirons seulement : « Soit fait à A B = B C »CD, etc. » En effet, c’est assez dire que les points B, C et D , avec lesquels on indique la même circonférence BCD, sont des points de cette circonférence ; ainsi il n’y a aucun risque d’équivoque.

\\. De même étant donnés B A par exemple , trois intervalles AB, CD, EF, quand on CD dira : « Soit fait à C D = EG, à A B ss= F G , » on devra G

entendre ceci : « Avec un v rayon CD, et du centre E F » E , soit décrit un cercle » dans la circonférence duquel soit le point G; » ensuite , avec l’intervalle A B et du centre F , » soit décrit un autre cercle qui coupe le pre- » mier au point G ».

\% D’autres fois dans les démonstrations, nous désignerons quelques lignes droites qui ne seront pas dans la figure, en nommant les deux points extrêmes auxquels elles devraient être menées , comme si , dans la figure 1 1 , on