LIVRE PREMIER. 5l

nommait la droite AB, ou bien CD. C’est ainsi que nous ferons quand il n’y aura pas à craindre d’obscurité , pour conserver la figure nette, et faire mieux paraître la construction faite avec le seul cercle.

13. Lemme* Si des deux centres A et B, et avec les rayons AP et A Q, on décrit des arcs qui se coupent en P et p , Q et q , les points Q , q , P et p seront dans la même ligne droite.

Démonstration. Tous les côtés des triangles AP p, BP p ( Jîg . 5 ) , étant respectivement égaux entre eux par construction, l’angle AP p sera égal à l’angle BPp (8, liv. i ). On démontre de même que AP Q=BPQ. Donc

AP/7 = AP Q = BP/> -f- B P Q.

Mais la somme de ces quatre angles est égale à quatre angles droits (i3, liv. i, coroll.). Donc chacune des sommes de deux angles est égale à deux angles droits. Donc la ligne QPp est droite ( i4> liv. t ). On démontre de la même manière que la ligne P pq est droite. Donc les points Q, P, p, q sont dans la même ligne droite.

1 4- Les choses étant comme au numéro précédent, les droites AB, P p, ainsi que celles AB, Q< 7 , se couperont à angles droits en deux par-

ties égales au point M, et les droites QP, qp seront égales.

Démonstration. En effet , à cause de l’égalité des côtés des deux triangles APB, ApB, on a l’angle PAB=pAB (8, liv. i). Mais on a encore AP/>=ApP (5, liv. i). Donc aussi AMP = AM p ( corroll . prop. 32, liv. i). Donc ces deux angles sont droits (i3, liv. i), et la ligne P p sera partagée en deux parties égales au point M par la démonstration de la proposition io, liv. î . On démontrera de la même manière que les droites Qç et A B sont divisées en deux parties égales au point M. Donc, en retranchant des droites égales Q M et q M , les parties égales P M , p M , les restes Q P , q p seront égaux.

1 5. Corollaire. On aura donc

(QM)* = (AQ)* — (AM)* (4 7 , liv. ,).