AM)» + (EM')* = 3(RA)*+2(RM
c’est-à-dire
' - | + 3 = ? + .(RM)- i ,
doù il résulte après la réduction,
(RM)’ = 2 = (BM)* = (Bm)‘ ^
de cette valeur on déduirait de la même ma*-
nière celle de (Rm)’; d’où
-‘ BM = MR = Ri» = mB.
Si maintenant on compare les quatre points B , M , R , m de la fig. 4$ avec les quatre points A , Q, B, q de la fig. 5, on a ( 1 5)
(QM)* = (AQ)*-(AM)‘;^‘
et de là
4(QM)‘ = 4(AQ)* 9 -4(AM)*; ,
c’est-à-dire . ^
(Q,)-i4(AQ)--(AB)‘.
On aura pour la fig. 45 *
d’où
Mm
Les triangles BME, BnE ayant les côtés égaux entre etra ^ et ayant tous deux la base commune BE divisée en deux parties égales par les lignes AM, Are de l'équation (26), H résultera la même,. valeur pour AM, An. Donc 'les triangles B AM, Ean ayant les côtés'égaux entré eux, on aura l’aogle BAM? = EAre’ (8, liv. i); d’où, à cause de la droite BAE, la somme des angles M AB, MAE) étant égale à deux droits ( i3, liv. i ) , et substituant à l’angle MAB son égal EAre , la somme des deux angles MAE, E A n vaudra deux angles droits j d’où les deux lignes M A , A n seront e ligne droite ( 14 , liv. 1 ). On aura.
(Mn)* =»4j[AM)* — ^ ;
une
donc
d’ou
Enfin,
MN = i v/ 2 4-
HE z=- ^=- 1 / 25 .
i05. Comme on a l - \/n par exem-
ple,- - y/'j — V'j » etc., on aura facilement.
au moyen de ce problème , les racines de tous les quarts , depuis i jusqu’à a5 ; ce dont on fera usage, comme nous le verrons, dans la construction des figures semblables.
106- Si l’on avait pris le rayon A B = 2 , on aurait eu toutes ces distances doubles de valeur ; d’où nous aurions eu les racines entières des nombres depuis 1 jusqu’à a5. On pourrait donc facilement doubler l’une quelconque de ces moitiés de racines pour avoir la racine entière (64).
407. La facilité de cette construction qu’on exécute avec les trois seules ouvertures déjà observées (35) , savoir :
la première la troisième la seconde ;
avec lesquelles on a déjà divisé le cercle en 24 parties égales , et trouvé ensuite les a5 racines successives des premiers nombres , fait voir l’excellence de la Géométrie du compas , et combien elle peut contribuer à la perfection des arts.
ï2Ô géométrie db compas.
108- On a eu soin , dans la construction precedente, d’employer le plus qu’il a été possible le premier compas dont l’ouverture = i , qui a décrit la circonférence BDcf, et qui conservant l’ouverture fondamentale , mérite plus de confiance que les autres. C’est aussi pourquoi on n’a voulu employer que les trois premiers compas les plus remarquables (1 07) ; ce qui a fait que quelques-unes des sections des arcs se sont faites à angles un peu aigus, comme celles des points O, o, et surtout celles des points L et /. Si l’on voulait avoir tous les angles d’intersection plus approchans de l’angle droit, on pourrait employer fa construction suivante.
Autre construction de la figure 45.
109. Après avoir trouvé les points M et m, comme dans la solution (1 04) , du rayon B D et des centres M et m soient décrits deux arcs qui se coupent en H.
Du rayon AB et du centre H soit décrit • un arc qui coupe la circonférence en O et o ; du même rayon soient déterminées les demicirconférences OEx , oES (64) ; du rayon BE et du centre H soit décrit un arc qui coupe la circonférence en L et /. •,
