LIVRE SEPTIÈME

DE L’INTERSECTION DES LIGNES DROITES AVEC LES ARCS DE CERCLE ET ENTRE ELLES.

PROBLÈME

110. Étant donnés deux points L et M dune droite (fig. 46 ), et le centre A avec le rajron A B d’un arc BCD trouver les deux points P et Q auxquels la ligne LM coupe ledit arc , si toutefois elle le coupe.

Solution. Des points L et M donnés sur la droite, pris pour centres, et avec leurs distances respectives MA, LA du centre donné, prises pour rayons, soient décrits deux arcs qui se coupent en V ; du centre V et du rayon donné AB soit décrit un arc indéfini EFG : si cet arc coupe l’arc donné en P et Q , ces deux points seront les points cherchés; s’il ne le coupait pas, la droite LM n’en couperait pas moins l’arc donné.

Démonstration. Les quatre distances AP, AQ , VP, VQ étant égales entre elles , et les deux autres AM, VM aussi égales entre elles,

l3o GÉOMÉTRIE DU COMPAS.

les trois points P, M, Q seront dans la même droite (1 3). On démontre de la même manière que les trois points Q, P, L sont dans la même ligne droite : donc la droite LM passe par les points P et Q , quand ces points d’intersection s’y trouvent.

Si le cercle EF G (fig. 47 ) , décrit du centre V et du rayon AB, ne coupait pas le cercle BCD, LM ne couperait pas ce même cercle.

En effet , si l’on conçoit la droite V A qui coupe les cercles en C et F, CF étant divisée par moitié en m, on aura \m = m A. Donc LM coupera perpendiculairement VA en m (14) hors du cercle BCD ; si l’on prend un autre point quelconque P sur la droite LM , dans le triangle rectangle PmA, on aura le côté PA plus grand que mA, parce qu’il èst opposé à un plus grand angle (3a et 18 , liv. 1 ). Donc le point P sera beaucoup plus hors du cercle que le point m : donc la droite LM ne coupera dans aucün point le cercle BCD.