AQ)- = (A,,)' + / >Q.PQ

d’où l’on tire, en soustrayant (A p )* de part et d’autre

(A Q)* — lAp)* =p Q.PQ.

Donc en effectuant la multiplication de A Q + Appar AQ — Ap) on trouvera

(AQ + Ap) (AQ— Ap)= (AQ)» — (Ap)*$

et par conséquent

(AQH-Ap)(AQ-Ap)= S pQ.PQ;

34 GÉOMÉTRIE DU COMTAS.

d’où (par la 16 ' proposition du Uv. 6 ) on déduit la proportion

pQ : AQ-f-AP ::AQ — A p : PQ;

où substituant de même AP au lieu de A p, et transposant les extrêmes ,

PQ : AQ-f-AP :: AQ — AP : P Q.

De ces deux proportions on déduit expressément ce fameux théorème :

, Dans un triangle quelconque, un côté quelconque eft à la somme des deux autres côtés , T comme leur différence est à la différence ou à la sàmrne des segmens que fait sur ce côté la perpendiculaire menée de l’angle opposé, suivant qu’elle tombe en dedans ou an dehors du triangle.

Corollaire s. On aura AQ = pQ.

Otant de part et d’autre les deux termes égaux («AQ)‘, (pQ)*, et ajoutant des deux côtés la pirtieipP.pQ, où aura p'P.p Q a=t (A p)*’.

20. Lemme. ,Tout étant' comme dàtts lé n° i3, si l’angle RpQ est droit ( fig . 4),„ gt tjufe l’angle RpS^=RpA, etp&==pR=pA, A S sera parallèle et égale à P p, et l’on aura \ '

-r(AQ)* = (HQ)*J.AS.PQ. !