LIVRE HUITIÈME

soient les sommets de deux angles d’un autre triangle, trouver un troisième point c, de manière que le triangle abc soit semblable au triangle ABC.

PROBLÈME

116. Doubler, tripler, quadrupler, etc . , un angle donné B A C (1 1 3).

Solution. Du centre A (Jig. 52) et avec les côtés AB, AC, pris pour rayons, décrivez deux arcs indéfinis BDF, CE ; faites à CB = CD, l’angle BAD sera double de BAC; faites à CD = DE, l’angle BAE sera triple de B AC; faites à DE=EF , l’angle B AF sera quadruple de BAC, etc.

Pour quadrupler l’angle proposé , on pourrait encore faire à BD = DF.

Démonstration. Les triangles BAC, CAD, DAE, EAF ayant leurs côtés respectivement égaux, les angles BAC, CAD, DAE, EAF, etc.

(8, liv. i ), seront égaux ; donc, etc. D’où l’angle BAD étant égal à DAF, on aura aussi BD = DF (4, liv. i).

PROBLÈME

117. Reconnaître si l’angle BAG, donné au moyen des trois points B , A G , est égal a la moitié d’un angle droit.

Solution. Du rayon AB (Jig- 53) et du centre A, décrivez la demi-circonférence BFE (64); faites à GB = GF (10). Si l’on a BF = FE, l’angle BAG sera égal à la moitié d’un angle droit; si BF est plus petit ou plus grand que FE, l’angle BAG sera plus petit ou plus grand que la moitié d’un angle droit.

Démonstration. Puisque l’angle B AF est double de l’angle BAG (116), si l’angle BAG est égal à la moitié d’un angle droit , l’angle B AF sera droit, et par conséquent l’on aura BF = FE (85). Mais si BAG est moindre ou plus grand que la moitié d’un angle droit, BAF sera moindre ou plus grand qu’un angle droit , et par conséquent B F plus petit ou plus grand que FE ( 24 , liy. 1 ).