MC : AM :: BS : AB

donc les cotes MC, BS seront aussi proportionnels ; donc l’angle MCA sera le même que BSA (5, liv. 6) ; donc les points A, C, S seront dans la même droite, et BS sera la tangente et AS la sécante de l’arc BC.

Si le cercle décrit du centre M et du rayon MA ne coupait pas la circonférence , ou la coupait sous des angles trop aigus , il faudrait avoir recours aux moyens indiqués ( 89 ou 90 et 91 ).

Autre solution pour trouver la tangente et la sécante.

Décrivez (64) la demi-circonférence BCE (Jig. 56) ; du rayon B C et du centre E coupezla au point Q; du rayon CQ et des centres A et B décrivez deux arcs indéfinis qui se coupent en V , et avec le même rayon C Q et du centre V coupez la circonférence en e ; du rayon Ee et des centres A et B décrivez deux arcs qui se coupent en m ; du même rayon Ee et du centre m décrivez la demi-circonférence ABS (64) : SB sera la tangente et SA la sécante de l’arc BC.

Démonstration. Si l’arc B CF est égal au quart de la circonférence = FE, comme on a par construction BC = QE , on aura aussi CF — FQ- On sait déplus, par les définitions trigonomé triques, que le sinus de l’arc CF est le même que le cosinus de l’arc BC, et que la corde de l’arc CFQ, double de l’arc CF, est double du sinus de l’arc CF ou du cosinus de l’arc BC : cette corde est égale à CQ = A V; on a de plus (22)

AV.Ee = (AB)\