LIVRE HUITIÈME

La ligne AroS (64) étant droite = 2 Ee et «V = 2 cos. BC ; on aura

aEe.cos. BC = (AB)* = AS. cos. BC;

donc (17 , liv. 6 )

cos. AC : AB :: AB : AS;

donc AS sera troisième proportionnelle au cosinus et au rayon, et par conséquent égale à la sécante , suivant les démonstrations trigonométriques. De plus, l’angle ABS étant droit (3i , liv. 3), la sécante AS sera déterminée de position, et par conséquent BS sera la tangente.

PROBLÈME

1 20. Etant donné le sinus mn d’un arc d’un rayon donné AB , trouver cet arc.

Solution. Décrivez (Jig. S'j) avec le rayon AB, le cercle CcK; doublez mn (64); d’un rayon — 2 mn, e t d’un point quelconque C de la circonférence , décrivez un arc qui la coupe en c; divisez l’arc Ce en deux parties égales au point B (60), BC sera l’arc cherché.

Démonstration. Le sinus de l’arc B C, d’après

les définitions trigonométriques , est la moitié

de la corde double de BC ; donc , etc.

PROBLÈME

121. Étant donné le cosinus ma d’un arc d’un rayon donné AB , trouver cet arc.

Solution. Décrivez le cercle CcK (Jig. 5j) avec le rayon AB; doublez ma (64); d’un point quelconque c de la circonférence pris pour centre et d’un rayon = 2 ma, coupez la circonférence au point K ; déterminez la demi-circonférence Kc.C (64)); divisez en deux parties égales l’arc Ce au point B (60) : B C sera l’arc cherché.

Démonstration. Tirez l’autre corde Ce; elle sera divisée au point M en deux parties égales et à angles droits par le rayon AB (14). Mais l’angle CcK étant inscrit et appuyé sur le diamètre, est aussi droit (3i, liv. 3); donc les deux triangles CM A , CcK, qui ont un angle commun en C , et chacun un angle droit, sont équiangles entre eux ( 3a , liv. i ) : donc on a (4, liv. 6)

CM : Ce :: MA : cK.