LIVRE PREMIER

Démonstration. En effet , si des deux angles droits RpQ, Rpç, on soustrait les deux angles égaux K p A, RpS, il restera les deux angles égaux ApP, Spq. Mais ApP = APp (5, liv. i)j donc Spq =■ AP q; donc AP," S p sont parallèles ( 29 , liv. 1 ). Mais elles sont aussi égales par construction; donc les deux droites AS j Pp, sont égales et parallèles (33, liv. 1 ).

On a aussi

Or.

(RQ)*=(Rp)*+(pQ)*( 4 7 , liv. 1 )=(Ap)*-f-(pQ)*; et par le lemme \ 7,

(AQ)*=(Ap)*H-(pQ) i — pP-pQ-

Donc

(AQ)* = (RQ)‘ — p P.pQ = ( R Q )* — A S .p Q.

21 . Lemme. Tout étant comme dans les n°‘ 13 et 20, on aura (SQ)* = (RQ) , -f-AS.pQ.

Démonstration. En effet, si on fait ST=Sp, p T = p P , (\ 1 } les deux triangles SpT, APp auront les angles SpT, AP p égaux entre eux ( 8 , liv. 1 ). Donc la ligne PpT est droite ( 37 , liv. 1 ). On aura ensuite • ,

(SQ)‘=(pS)»+(pQ)*+pQ.pT(l 6 ).

Mais on a

Oi

(/>S)*+(^Q)‘-(^)* + (pQ)* = (RQ)S

et .

p T = pP = A S.

Donc

(SQ)*==(RQ)‘ + AS.pQ.

Des deux lemmes précédens il résulte ce corollaire, que

(AQ)* + (SQ)* = a (RQ)*.

22. Lemme. Si l’on a AQ=pQ=BQ et Ap === pB = pS, pS étant sur le prolongement de Bp, on aura

AS.pQ=:(Ap)\

Démonstration. Les triangles isoscèles A Qp, BQp ayant les côtés égaux entre eux, on aura l’angle Qp A = QpB (8, AV. i ). On aura ensuite l’angle ApB , qui est la somme des deux autres, égal aussi à la somme des deux angles SA p, AS p ( 5a, liv . i ) , qui sont égaux entre eux, parce que le triangle ApS est isoscèle (5, AV. i )j chacun d’eux sera égal à l’angle ApQ — p A Q (5, AV. i ). On aura donc le triangle p AS semblable au triangle Qp A (3i, AV. i ; 4, AV. 6); et de là

pQ : Ap :: Ap : AS ,