LIVRE NEUVIÈME

chacune d’elles est double du côté BD, elles seront par conséquent égales entre elles. Donc le triangle LMN est équilatéral ; ensuite les angles ND*/, DLB étant égaux, la droite Dd sera parallèle à LB (29, liv. 1), ou à LM. Or les points N, A, B sont dans une même droite perpendiculaire à D d (13, 1 4) ; donc A B est aussi perpendiculaire à LM (27 , liv. 1) ; donc LM est tangente au cercle (16, liv. 3). On démontrerait la même chose pour les deux lignes NL, NM; donc le triangle NLM est équilatéral et circonscrit au cercle (def 2 , liv. 4).

PROBLÈME

1 32. Circonscrire un carré à un cercle donné (fig. 60).

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Solution. Divisez la circonférence de ce cercle eu quatre parties égales aux points B, F, E,f (27) ; de ces points comme centres et du rayon A B , décrivez des arcs qui se coupent en R , S , T , V. ; ces quatre derniers points seront les sommets des angles du carré circonscrit au cercle. • \ . . ,

Démonstration. Les angles TBA , SBA étant droits (100), la ligne TSB est une droite

l56 GÉOMÉTRIE DU COMPAS.

(i4,/iV. i) perpendiculaire au diamètre BE, et par conséquent tangente au cercle ( 16 , liv. 3) : on démontrerait la même chose pour les autres lignes TFV, VER , R/S. De plus, les triangles BFT, BFA ayant les côtés respectivement égaux, on aura l’angle BTF=BAF ( 8 , liv. i), et par conséquent droit ( 2 7) : la même chose se démontrerait pour les autres angles V, R, S ; donc, etc.

PROBLÈME

1 33. Circonscrire à un cercle donné un per* tagone régulier.

Solution. Soit le cercle BDE ( fig . 6 t) décrit avec le rayon AB; divisez sa circonférence eu cinq parties égales (40) aux points B, C, D, E, F; d’un de ces points C comme centre et du rayon CB décrivez la demi-circonférence BDP ( 64) ; prenant pour centre le point E opposé à l’arc CB et avec le rayon EC coupez l’arc BDP en p; des centres B, C, D , E, F et avec le rayon P p décrivez des arcs qui se coupent aux points b, c, d, e,f; ces points d’intersection seront les sommets des at/gles du pentagone circonscrit au cercle.

LITRE NEUVIÈME. l5j

La démonstration est la même que celle du problème suivant.

PROBLÈME

\ 54. Étant donnés les sommets des angles d’un polygone régulier quelconque inscrit au cercle , trouver les sommets des angles d’un polygone semblable circonscrit.

Solution. Soient les points B, C> D j E ( fig . 6a ) les sommets des angles du polygone inscrit : de l’un de ces points C pris pour centre et d’un rayon égal à la distance CB , de deux d’entre eux , décrivez la demi-circonférence BD P ( 64) ; des centres B et C et avec le rayon BD , décrivez deux arcs qui se coupent au point Y ( dans le cas du problème précédent (Jig. 6i)t le point V coïncide avec le point E) : de ce même rayon BD et du point V comme centre coupez la circonférence B D P en p ; avec P p pour rayon et des centres B , C, D, E, etc. , qui sont les sommets des angles du polygone inscrit j décrivez les arcs qui se coupent aux points b, c, d, e, etc. j ces points seront les sommets des angles du polygone régulier circonscrit.

l 58 GÉOMÉTRIE DO COMPAS.

Démonstration. On a pP . VC— (CD)* ( 22 ), c’est-à-dire cC.BD = (BC)*; d’où (17, liv. 6)

BD : BC :: BC : Ce.

Mais BC = CD , et Be = c C : donc les deux triangles isoscèles B CD, BcC auront leurs côtés proportionnels; donc ( 5 , liv. 6) l’angle cCB sera égal à l’angle CBD ; d’où il suit que les deux lignes cC, BD seront parallèles ( 28, liv. 1). On prouverait de même que C d est aussi parallèle à BD. Les points e, C, d seront donc dans la même ligne droite : mais de ce que BC = ED, il suit que le rayon AC est perpendiculaire à BD ( 14 ); il le sera donc aussi à la droite cd (29, liv. 1) : donc cd est tangente à sa moitié en C (16, liv. 5 ). On démontrerait de même que de = ede st tangente à sa moitié en D; ainsi des autres. Le nombre de ces lignes sera égal à celui des points B, C, D, E, etc. Donc, etc. (déf. 2, liv. 4 )-

PROBLÉ ME.

135 . Sur un côté donné AE (fig. i), construire un triangle équilatéral.

Solution. On trouvera le point D suivant la