Sur un côté donné AB (fig. 43), construire un carré

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Solution. Les deux points F, T étant trouvés, d’après la méthode prescrite (1 00) , le carré ABTF sera le carré cherché.

Démonstration. BT étant égale et parallèle à F A , et par conséquent perpendiculaire à AB (100), la ligne F T sera aussi parallèle àBA (33., Uv. i) j d’où aussi les angles BT F, AFT sera droits (37, Uv. 1), et ABTF sera un carré {défi 3s , Uv. 1 ).

PROBLÈME

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\ 3 7. Sur un côté donné AB (fig. 63 ) , construire un pentagone régulier.

Solution I. Avec le rayon AB et du centre A, décrivez la circonférence BCDErf, et faites à AB =5 BC = CD = DE = E d\ faites encore à BD = B a=. E a , et ensuite à A a — D b

]6o GÉOMÉTRIE DU COMPAS.

= db; du centre B et avec le rayon B A dé- 1 crivez l’arc indéfini A CL, dans lequel vous ferez à AA — AH = HK = KL : (pareillement, dans la circonférence BCD, faites à AA = BQ = QP = PN. Des points L et N pris pour centres et du rayon AB décrivez deux arcs qui se coupent en M; les points A, B, L, M , N seront les sommets des angles du pentagone régulier cherché.

Démonstration. L’angle CBF {fig. 6 1) du pentagone régulier BCDEF a pour mesure la moitié de l’arc CD EF (20, liv. 3 ); cet angle étant donc égal à trois cinquièmes de la circonférence j l’angle CBF du pentagone a pour mesure les trois dixièmes. Or les arcs A H KL, BQPN> qui mesurent les angles ABL, BAN, valent chacun les trois dixièmes de la circonférence ( 41 ) : donc ces angles ABL, BAN sont ceux du pentagone régulier à construire sur AB ; ensuite les trois côtés AB, BL, AN, côtés du pentagone, sont égaux entre eux ; donc, en comparant les points L, B, A, N de la figure 63 * avec les points C, B, F, E de la figure 61 , le triangle L M N de la première figure , ayant les côtés respectivement égaux aux côtés du triangle C D E de la seconde , ils auront aussi les angles égaux (8, liv. 1)*