LIVRE NEUVIÈME

comme centres soient décrits deux arcs qui se coupent au point 0 ; avec le même rayon et du centre 0 soit décrit un cercle dans la circonférence duquel on fera à A B = BC =* CD =DE = EF ; l’hexagone ABCDEF sera l’hexagone demandé.

V yyez , pour la démonstration , la quinzième du liv. 4 .

PROBLÈME

1 59. Sur un côté donné AB (fig. 66), construire un octogone régulier.

Solution I. Des points A et B pris pour centres et avec le rayon AB décrivez les deux demi-circonférences B CD E , A C de ( 64); faites à CE = Ea=Brt = Aa= eu,', avec le rayon AB et du centre a coupez l’arc D*E au point H ; avec le même rayon et du centre a coupez l’arc de au point h ; encore avec le même rayon , et des points H , h comme centres, décrivez deux arcs qui passent par les points G, g; avec le rayon B a, et des points a, a pris pour centres , coupez ces deux arcs en g, G ; avec le rayon AB et des centres G et g soient décrits deux arcs qui passent par les points F et f; coupez ces deux arcs en f, F avec le

l64 GÉOMÉTRIE DD COMPAS.

rayon A a et des centres a, a, les points A, B, h, g, / F , G , H seront les sommets de l’octogone régulier construit sur le côté AB.

Démonstration. Les côtés AB, B h, hg, gf, AH, HG, GF sont tous égaux par construction. Maintenant , si l’on considère un octogone régulier inscrit au cercle , on trouvera que chacun de ses angles à la circonférence a pour base un arc égal aux | de

la circonférence , et par conséquent | pour

mesure ( 20 , liv. 3) ; on a ensuite l’arc B CH

égal à g (30) : donc l’angle BAH est un

angle de l’octogone , ainsi que l’angle ABÆ.

Ensuite ah., a B étant perpendiculaires à AB (27) , elles seront parallèles entre elles ( 29 , liv. 1 ) : donc la droite Ha qui fait un angle de 45° avec a A (27), en fera encore un semblable avec la ligne a. B ( 27 , liv. 1 ). Mais hBa. est aussi de 45° : donc a H est parallèle à/iB ( 28 ; liv. 1 ) : donc aussi a h est égale et parallèle à HB (33, liv. i)j d’où l’angle ÆaH = /*BH (34, liv. 1 ). Or l’angle ABH

= 4BE — HBE = //BE — - HAE( 20 , liv. 3); il aura donc pour mesure ^ c’est-à-dire