LIVRE NEUVIÈME

L, M, N, etc. , seront les sommets des angles du polygone cherché.

Démonstration. Les côtés du triangle B Al étant proportionnels à ceux du triangle BYA, on aura l’angle BAZ = BVA(5, Uv. 6) : donc les arcs BZ, B A qui le mesurent , seront des portions égales de leurs circonférences ; donc, etc.

PROBLÈME

142. Construire un carré sur une diagonale A B donnée (fig. 70).

Solution. Du centre A et du rayon AB soit décrit l’arc BCDE ; du centre B avec le même rayon soit décrit l’arc indéfini CP , et soit fait à’BC = CD:=DE; soit fait ensuite à BD =Brt = E a. Maintenant, du centre E et du rayon A a soit coupé l’arc CP en P ; des centres A et B et du rayon AP soient décrits deux arcs qui se coupent en L et M ; ALBM sera le carré cherché.

Démonstration. Si l’on suppose pour abréger AB s= 1 , on aura

AP = i y/3 (104) = AL = BL;

174 GÉOMÉTRIE DU OOMRAS.

d’oii

(AL)- = (BL)*=i, et

(AL)*-|“(BL)*= i = (AB)\

Donc l’angle BLA est droit (48, liv, i), et les deux angles LBA, LAB égaux entre eux, valent chacun la moitié d’un angle droit (5 , et 3a , liv. i ). On démontrera de même que l’angle BM A est droit, et que les angles MBA, MAB valent chacun la moitié d’un angle droit : donc les angles MBL, MAL seront droits, et et ALBM sera le carré cherché.