EK, EK

Corollaire. Si deux droites AB, CD, sont parallèles, toute droite EF, perpendiculaire à CD, l’est aussi à AB.

Car si EF n’était pas perpendiculaire à AB, au point E on pourrait élever une droite perpendiculaire à EF ; celle prétendue perpendiculaire serait parallèle à CD; mais AB est déjà parallèle à CD ; donc du même point E on pourrait mener deux parallèles à la droite CD, ce qui est impossible. Donc EF est perpendiculaire à AB.

THéORÈMi:.

Deux droites AB, CD, sont parallèles si les angles inté- l'ig- 15. rieurs BFG, FGD, qu’elles font du même côté avec une troisième EH , sont supplémentaires.

En effet, l’angle DGH est aussi supplémentaire de DGF (p. 2), par conséquent il est égal à BFG. Si donc les lignes

FB, GD, pouvaient se rencontrer à droite de FG, elles formeraient avec FG un triangle dans lequel un angle extérieur DGH serait égal à un angle intérieur opposé BFG, ce qui est impossible (p. 10). De plus, les angles AFG.

GFB, valant ensemble 2 droits, ainsi que CGF, FGD (p. 2), si de ces 4 angles, qui font ainsi en somme 4 droits, on retranche les angles BFG, DGF, qui valent aussi 2 droits,

'on aura les angles AFG, CGF, qui vaudront également 2 droits, et l’on prouvera encore que les lignes BA , DC, ne sauraient se rencontrer à gauche de FG. Donc elles sont parallèles.

Remarque 1. On arrive à la même conséquence en supposant :

1° L’angle EFR = CGH , ou, ce qui revient au même.

GI-OMITRIF.

AFG^l'GD. Car l’angle BFG, supplément de EFB (p. 2), ou dcAFG, le sera aussi de son égal FGD. Ainsi les angles BFG, FGD seront supplémentaires, et les droites AB, CD parallèles;

2° L’angle AFE = DGH, ou, ce qui revient au même, BFG=CGF. Le raisonnement est le même que dans le premier cas ;

3“ Si l’on suppose l’angle EFB = EGD , on conclura que BFG, supplément du premier, l’est aussi du second , ce qui ramène à la prop. 15. De même, si l’on suppose BFG=DGI1, ou AFE=CGE, ou enfin AFH = CGH;

4® Si l’on suppose EFA supplémentaire de CGH , on en conclura que BFG, égal au premier (p. 4), est supplément de FGD , égal au second ( p. 4 ). De même si l’on suppose EFB supplémentaire de DGH.

Remarque 2. Si deux droites font avec une troisième d’un même côté de celle-ci deux angles intérieurs, dont la somme est plus petite ou plus grande que deux angles droits, ces deux droites, prolongées suffisamment, se couperont du côté où la somme des angles intérieurs est <[] 2 droits.

THÉORÈME

Fig. ID. Si deux parallèles Kh , CD, sont coupées obliquement par une sécante EH :

1“ Les 4 angles aigus formés par ces droites sont égaux; 2“ les 4 angles obtus qu‘ elles forment le sontjmssi; chacun des 4 angles aigus est le supplément de l’un des 4 angles obtus :

1* Je dis que l’angle EFB est égal à EGD ; çar si cela n’était pas, faisons l’angle EFB' EGD; d’après la Proposition précédente (r. 1,3®), la droite FB' serait parallèle à CD, ce qui ne se peut, puisque FB l’est déjà (p. 14).