LIVRE I

les obliques égalemenl ucarlécs de la perpendiculaire sont égales.

3° Soit DG ^ DF ; je dis que AG sera ]]> AF. Pour le prouver, prenons DE=DF, tirons AE. L’angle ADE étant droit, l’angle AED sera aigu et son adjacent AEG sera obtus ; donc , dans le triangle AEG , l’angle AGE sera aigu (p. 10, e.) et le eôté AG, opposé au plus grand angle, sera plus grand que AE ou que AF.

Corollaire 1. Si deux obliques AE, AF sont égales, on peut conclure qu’elles s’écartent également de la perpendiculaire AD. Car si elles s’écartaient inégalement, elles ne seraient pas égales. De même , de deux obliques inégales < la plus longue s’écartera le plus de la perpendiculaire.

Corollaire 2. Dans un triangle isocèle AEF , la perpendiculaire AD menée du sommet A sur le côté inégal EF, divise ce côté , ainsi que l’angle EAF' , en deux parties égales.

Corollaire 3. D’un point A pris hors d’une droite BC , on ne peut mener sur cette droite plus de deux droites égales. Car si du point A on mène deux obliques quelconques AE, AF égales entre elles, toute autre droite menée de A sur 6C s’écartera de la perpendiculaire plus ou moins que AE , et sera , par conséquent , plus ou moins longue que AE.

Remarque. La perpendiculaire menée d’un point A sur une droite BC étant la plus courte de toutes les droites menées de A sur BC , on la regarde comme In distance de ce point à cette même droite BC.

PROPOSITION xni.

THÉORÈME

La perpendiculaire DE, élevée sur le milieu C d’une droite Fig. 1 • AB de longueur donnée, est le lieu de tous les points également éloignés des extrémités A, B de cette droite.

GKOMÉTRIE.

Jl s’agil de prouver que tous les points de la perpendiculaire DE sont également distants des extrémités A et D, et que tout point F pris hors de la perpendiculaire est inégalement distant de A et B. C’est là ce que signifie l’énoncé précédent.

Or, si l’on joint les points A et B à un point quelconque D de la perpendiculaire DE , les deux distances AC , BC étant égales, les deux obliques DA, DB le seront (p. 12, 2“). Il en est de même de EA , EB, etc.; donc, d’abord tout point de la perpendiculaire DE, menée au milieu de AB , est également distant des extrémités A et B.

En second lieu, si l’on joint les points A et B à un point quelconque F, pris hors de DE , par les droites AF, BF, l’une de ces droites coupera la perpendiculaire DE en un point D; joignez DB. La droite FB<^FD-|-DB; mais le point D étant sur la perpendiculaire DE, on a DB = DA ; donc FB<^FD-1-DA ou FA , et tout point pris hors de la perpendiculaire DE est inégalement distant des extrémités A , B.

Fig. 12. DÊjPHUTiofi XVI. Il a été démontré (p- 1 1 , 2”) que deux droites BA, CD, perpendiculaires à une même troisième droite EF ne se rencontrent pas.

Deux droites BA, CD, qui sont situées dans le même plan et ne se rencontrent pas, quelque loin qu’on les prolonge, sont dites parallèles.

POSTULXTCM.

Fig. 12. D‘un point E pris hors d’une droite CD on ne peut mener qu’une seule parallèle à cette droite.

Nous regardons cette propriété comme évidente. Ainsi - les deux droites AB, CD, perpendiculaires à une même droite EF ne se rencontrent pas : nous admettons que toute droite différente de AB, et menée par un point E

i.ivnE I.

lie celle droite, renconlrera DC ; par exemple , les droites EK , EK', qui ne sont pas perpendiculaires à EF, rencontreront DC, si pn prolonge suffisamment DC, ainsi que