LIVRE I

Donc l’angle EFB=EGD; donc aussi AEG, qui est égal à EFB (p. 4), sera égal à FGD, cl par suite à son égal CGH

2° Il résulte de là que les angles BFG, DGH, CGF, AFE sont égaux comme suppléments d’un même angle ou d’angles égaux.

3° Puisque les angles obtus de la ligure sont tous égaux à BFG, et les angles aigus à BFE, qui est supplément de BFG (p. 2), on conclura que chacun des 4 angles obtus est le supplément de l’un quelconque des 4 angles aigus.

Remarque. En comparant ces angles, on les distingue par leur position relativement à la sécante, en les appelant angfef alternes, s’ils sont situés de différents côtés de cette droite, et angles du même côté dans le cas contraire. On les dis|ingue encore en angles intérieurs ou internes s’ils sont traversés par l’une des parallèles, comme l’angle BFH traversé par CD, et angles extérieurs ou externes, dans le cas contraire ; tel est l’angle EFB. D’après cela on peut dire:

1“ Les angles AFH , DGE, sont alternes internes et égaux ; de même BFG et CGE ; ,

2® Les angles AFE , DGH , sont alternes externes ; ils sont égaux. De même EFB, CGH;

3° Les angles EFB, EGD, sont internes externes ; on les nomme encore angles correspondants: ils sont égaux. De même AFE et CGE , AFH et CGH , BFH et DGH ;

4“ Les angles intérieurs d’un même côté BFG , DGF, sont supplémentaires; il en est de même de AFG efCGF.

5° Les angles extérieurs d’un même côté EFB , DGH , sont supplémentaires; AFE et CGH sont dans le même, cas.

Ces cinq propriétés sont toutes comprises dans la Proposition 16; leurs réciproques forment la Proposition 15 et la remarque qui y est jointe. ■>

r.ÉüMÉTRIt.

THÉURÉME.

Fig. 16. Deux angles qui ont les côtés respectivement parallèles ou perpendiculaires sont égaux ou supplémentaires.

1° Soient les angles BAC, DEF, ayant les côtés AB , DE parallèles et diriges dans le môme sens par rapport à la droite, qui joindrait les sommets A et E; les côtés AC, EF sont aussi parallèles et de môme sens. Ces angles sont égaux. Pour le prouver, prolongez le côté DE jusqu’à la rencontre de AC en G. Les angles DEF, DGC sont égaux comme correspondants par rapport aux parallèles AC, Ef, coupées par la sécante DG (p. 16, r. 3"); les angles DGC, BAC sont égaux, comme correspondants par rapport aux parallèles AB, DG, coupées par la sécante AC; donc les angles DEF, BAC, égaux à un môme angle DGC, sont égaux entre eux.

S’il s’agit des angles DEF, BAH, dont les côtés DE, AB .sont parallèles de môme sens, tandis que AH et EF sont parallèles de sens contraire, on prolonge AH vers C; d’après ce qu’on vient de prouver, l’angle BAC sera égal à DE^; mais BAH est le supplément de BAC; donc BAH est aussi le supplément de DEF.

EnHn, si l’on veut comparer les angles DEF, H AI , qui ' ont les .côtés parallèles et de sens contraire, on prolongera les côtés de l’angle HAI et l’on aura BAC , qui est égal à DEF, d’après ce qu’on vient de prouver, et à HAI, d’après la Proposition 4. Donc DEF=HAI.

Ainsi , deux angles qui ont les côtés parallèlè6 sont égaux, si les côtés de l’un sont tous les deux dirigés, ou dans le môme sens que les côtés correspondants de l’autre, ou en sens contraire; ils sont supplémentaires, si un côté de l’un est de môme sens qu’un côté de l’autre, tandis que le second côté du premier est de sens contraire au second côté de l’autre.