LIVRE VI

DépiniTion r. La hauteur d’un prisme est la distance des plans des bases.

DÉFiNiTioit ri. Le prisme est appelé droit si les arites latérales kh!, BB', etc., sont perpendiculaires aux bases.

Dans ce cas, les faces latérales ÂB', 6 C, etc., sont aussi perpéndiculaires aux bases. La hauteur d’un prisme droit est égale aux arêtes latérales.

DÉFiNiTioif ni. Un prisme est appelé triangulaire, quadrangiilaire , pentagonal, etc., selon que ses bases sont des triangles, des quadrilatères, des pentagones, etc.

' THÉORÈME

Les sections KLMNO , PQRST, faites dans un prisme Fig. 171. par des plans parallèles , sont égales.

Puisque les plans KMO, PRT sont parallèles, les droites KL, PQ le sont aussi comme intersections d’un plan ÂB' par deux plans parallèles (I. 6 , p. 9 ); de plus ces droites KL, PQ sont égales comme parallèles comprises entre des parallèles AA', BB'. On prouvera de même que QR est égal et parallèle à LM, RS à MN et ainsi de suite. Les deux polygones sont donc équilatéraux entre eux. Mais ils sont aussi équiangles entre eux. Car PQ étant parallèle à KL, et QR à LM, l’angle PQR est égal à KLM; de même l’angle QRS l’est à LMN, etc. Donc enfin ces polygones sont égaux.

Corollaire t. Toute section parallèle à la base d’un prisme est par conséquent égale à cette base. Si donc on fait dans un prisme tant de sections qu’on voudra , toutes parallèles aux bases, elles seront égales aux bases. Il suit de là que si l’on fait glisser la base ABCDE de façon : l°que le plan reste parallèle à A'B'C'D'E'; 2 ° que le point A ne quitte pas l’arète AA', et 3 ® que le côté AB ne cesse pas d’être parallèle à A'B', ce polygone ABCDE viendra coïncider suc-

cessivement avec toules les sections dont on a parié; ainsi scs côtés parcourront toute la surface latérale, cl sa surface parcourra tout le volume du prisme, ce qu’on exprime en disant que le prisme peut être engendré ou décrit par un polygone plan ABCDE qui se meut de façon qu’un de ses sommets A parcourt une droite AA', et que ses^iôtés restent chacun parallèle à lui-même.

On peut supposer la droite AA' indéfinie dans les deux sens, et alors le contour du polygone décrit une surface prismatique indéfinie.

On peut encore engendrer la surface prismatique en supposant que le polygone ABCDE reste immobile, et que la droite AA', prolongée indéfiniment, se meuve en restant parallèle à sa direction actuelle, et s’appuyant sur le contour ABCDE.

Fig. 172 . Dépimtion rm. Le parallélipipède est un prisme dont les bases ABCD, EFGH sont des parallélogrammes. Ce corps est donc compris sous six parallélogrammes.

Définition ix. Si le parallélipipède est droit et que les bases soient des rectangles, toutes les six faces sont des rectangles, et le corps se nomme parallélipipède rectangle.

Définition x. Enfin, si dans un parallélipipède rectangle la base est un carré, et que la hauteur soit égale au côté de ce carré, la figure a pour faces six carrés égaux, et se nomme cube.

TBÉORÈME.

Fig. 172 . Dans tout parallélipipède les faces opposées sont égales et parallèles, et les diagonales se coupent mutuellement en parties égales.

Soient ABCD, EFGH les bases du parallélipipède, lesquelles sont, d’après la définition, des parallélogrammes égaux silués dans des plans parallèles. Je dis qu’il en est