LIVRE VI

de même de deux faoes opposées quelconques , telles que AF et DG. Car, puisque ABCD est un parallélogramme, la ligne AB est égale et parallèle à CD; de même CBFG étant un parallélogramme, la droite BF est égale et parallèle à CG; donc les angles ABF et DCG, qui ont les côtés parallèles et de même sens, sont égaux, et leurs plans sont parallèles (I. 6, p. 12). Cela posé, si l’on a égard à l’égalité de ces deux angles, ainsi qu’à celle des lignes AB, DC d’un côté, et des lignes BF, CG de l’autre, on reconnailra que le parallélogramme AF est égal à DG. On raisonne de même pour deux faces opposées quelconques.

En second lieu, soient deux diagonales AG, BH. Le côté HG est égal et parallèle à DC, qui est lui-même égal et parallèle à AB, à cause des parallélogrammes; donc HG l’est aussi à AB, et la figure ABGH est un parallélogramme, dont les diagonales AG, BH se coupent mutuellement en deux parties égales (I. 1 , p. 23). On prouvera de même que chacune des deux autres diagonales passe au milieu de l’une de ces deux-là. Donc elles se coupent toutes les quatre en un point qui est le milieu de chacune.

Corollaire, Puisque dans un pàrallélipipède deux faces opposées sont égales et parallèles , on 'peut prendre pour bases une face quelconque cl son opposée.

Remarque. Les angles triédres opposés tels qae A et G, ont les arèles parallèles chacune à chacune, mais de sens contraire. Ils sont donc symétriques (I. 5, p. 22).

Définition xi. Une pyramide est un polyèdre compris Fig. 173. sous plusieurs faces triangulaires SAB , SBC , SCD, etc., partant toutes d’un même point S, et se terminant aux côtés d’un polygone plan ABCDEF, qu’on nomme la base ; le point S est le sommet de la pyramide. L’ensemble des triangles SAB , SBC, etc., se nomme la surface latérale de la pyramide.

Définition xii. La hauteur d’une pyramide est la per-

iga GÉOMÉTRIE.

pendiculaire abaissée du sommet sur le plan indéfini de la base.

Définition xiii. La pyramide est appelée triangulaire , quadrangulaire , pentagonale, -etc., selon que la base est un triangle, un quadrilatère, un pentagone, etc. La pyramide triangulaire est un tétraèdre.

DsFiKiiioy xir. Deox points sont dits lymilriquet par rapport à une droite ou par rapport à un plan , lorsque cette droite ou ce plan est perpendiculaire au milieu de la droite qui joint ces deox points.

Définitiok xr. Deux figures sont dites symétriques lorsqu’on peut les placer par rapport à un plan de façon que chaque point de l'une des figures ail , relatiTcmenl à ce plan, son symétrique dans l'autre.

THÉORÈME

Fig. 174. pluliaurs points A , B , C , D déterminent un polygone plan , leurs symétriques A', B', C', D'..., pris par rapport d'un plan quelconque abc , détermineront un polygone égal au premier.

Soient menées les droites AA', BB', CC', DD'... qui rencontrent le plan de symétrie aux points a, b. c, d... D’après la définition on a Ao = A'a. Bé = B'b. Cc=C'cDd= D'd. Par suite le trapèze a&BA peut se superposer avec aéB'A'. Car l’angle droit ba\ coïncidera avec baA', et comme aX=aA.', le point A tombera on A', de même B tombera sur B' ; donc AB = A'B'. On prouvera aussi que BC = B'C', CD =: C'D' et en général que la distance de deux points est égale à celle de leurs symétriques. Donc aussi le triangle ABC qui a pour sommets trois points quelconques A , B, C , est égal à celui qui a pour sommets leurs symétriques A', B', C', puisque ces triangles sont équilatéraux entre eux. Ainsi l’angle ABC=A'B'C', l’angle ABD=A'B'D', l’angle DBC=D'B'C'. Or, comme la figure ABCD est plane, on a

ABC=:ABD-hDBC,

donc aussi A'B'C'= A'B'D'-I- D'B'C' ,

et par conséquent la figure A'B'C'D' est aussi plane, sans quoi les