TB^RÈME

Diux polyèdres symétriques sont compris sous un même nombre de faces égales chacune à chacune , et les angles polyèdres dont les sommets sont des points symétriques . sont des angles polyèdres symétriques.

Si l'on prend une face de l'un des polyèdres, le lieu des points symétriques de-tous ceux de cette face est un polygone égal à cette face (p. 3, c.). Donc les deux corps sont compris sous un mémo nombre de faces égales chacune à chacune.

En second lieu soient S,S' deux sommets symétriques ; A,B,C,D,E les sommets adjacents à S; A', B', C', D', E' leurs symétriques. De ce qui a été prouvé (p. 3) il résulte que l'angle ASB = A'S'B', BSC =B'S'C', etc.; ainsi les angles polyèdres S, S' ont les faces égales chacune à chacune et assemblées par les arêtes homologues. Si l'on Conçoit les plans ASC, A'S'C', les angles ASC, A'S'C' seront aussi égaux ; donc les angles triédres SABC , S'A'B'C' ont les faces égales chacune à chacune, et les dièdres DS, B'S' sont égaux (I. 5, p. 22). On prouvera de même que les antres dièdres formés de part et d'autre par des faces égales, sont égaux. Aciuellemont si l'on

GÉOMBTBIE.

lait parcourir les deux aogles polyèdres S, S' i deux perpendiculaires dans le sens ÂBC, etc., A.'B‘C', etc., conformément à la convention établie (l. 5, p.22, r. 1), on reconnaitra que dans l’angle S les angles dièdres étant formés à droite, ceux de l'angle S' le sont à gauche. Donc les angles polyèdres S , sont symétriques. Pour s’en assurer d’ailleurs on n’a qu’l placer l’aréte BS sur B'S' et AS snrÀ'S', et on reconnaîtra que les angles polyèdres ne sont pas superposables.

Corollaire 1. Tous’, les symétriques d’un même polyèdre 'sont superposables. Car nommons S", A", B", etc., les sommets symétriques de S , A , B , etc. , par rapport à un plan quelconque, diffèrent du plan MN. Les angles S", S , symétriques du même angle S , seront égaux ( I. 5 , p. 22 , r. 1 ) et se su perposeront ; tous les polygones , faces de S", se superposeront avec les faces respectives de S'. Les angles polyèdres formés en A', A", seront aussi superposables, et comme deux de leurs faces sont déjà superposées, savoir les faces dont font partie les angles A'S'B', A'S'E', ces deux angles coïncideront dès que S', S" sont superposés, et ainsi de suite.

CoroKatrs 2. Deux polyèdres terminés par des faces égales deux 1 deux formant de part et d’autres des angles polyèdres symétri- '’ques, sont symétriques; car le second polyèdre sera superposable , avec le symétrique du premier. Il s’ensuit que les deux prismes ' triangulaires dans lesquels se décompose un parallélipipède sont symétriques.

Corollaire 3. Cn corps est superposable avec son symétrique toutes les fois que ce corps peut être divisé lui-mème par un plan en deux parties symétriques par rapport! ce plan. Car si l’on prend ce même plan pour plan de symétrie , aQn de construire le symè- ^trique du corps donné, chacune des deux parties aura l’autre pour symétrique, et par conséquent le symétrique du corps se confond avec le corps même.

Corollaire A Le symétrique d’un angle polyèdre peut se former comme celui d’un polyèdre, an moyen d’un plan de symétrie.

Définition xri. Deux figures, sont dites semblables, si on peut les placer de façon qu’à chaque point de l’une il répohde dans l’autre un point distinct tel que la droite qui joint ces points correspondants, aille passer en un point