LIVRE Vi

donné» et y soit divisée en 2 segments dont le rapport est constant. Si les segments sont tous soustractifs , la similitude est dite directe; si les segments sont tous additifs , la similitude est dite inverse. Voyez d’ailleurs les définitions 6 à 10, livre 3.

DÈFixiTtoa XVII. Deux plans sont appelés diomologues si l’un des deux contient trois points homologues à trois points respectifs de l’autre.

THÉORÈME

Deux figures, directement semblables à une troisième , Fif. 170. sont égales, si ces deux figures ont une dimension égale, pourvu que cette dimension soit homologue à une même dimension de la troisième figure.

Soient abcd..., a'b'c'd'... les deux figures supposées directement semblables à la troisième ÂBCD .. . etc. Soient O , O' les centres de similitude. On prouvera ici cômmc à la proposition 11 du troisième livre, que si ab =z a' b', on a aussi ac ■=. a'c', ad — n'd. De plus ab et a'b' seront parallèles entre elles comme parallèles à AB; ac,a'c' seront aussi parallèles entre elles, etc. Si donc les 4 points A, B» C, D sont dans un même plan, les plans abc, abd (I. 5, p. 12) parallèles tous les deux à ce plan ABCD..., coïncideront; de même a', b', c', d, seront dans un plan. Par conséquent on pourra placer ab sur son égal a'b', ad coïncidera avec dd, ac avec a'c', et tous les points de abcd... qui seront dans le plan abcd..., coïncideront avec les points correspondants de a' Â'c’cT... Supposons actuellement que le point d ne soit pas dans le plan abc, on aura en a un angle trièdre abcd qui aura ses arêtes parallèles à celles de l’angle trièdre a'b'c'd, et comme les arêtes parallèles sont de même sens, ces deux angles trièdres sont égaux et superposables.

Donc après que le plan bac aura coïncidé avec le plan b'dc', un point quelconque d, pris hors de ce plan , coïn-

cidera avec un certain point d’ de la seconde figure. Donc ces deux figures sont égales.

Corollaire. On peut donc prendre le centre de similitude à volonté lorsqu’il s’agit de construire une figure semblable à une figure donnée; on peut le prendre dans l’espace, même s’il s’agit d’une figure plane. Par conséquent dans l’espace, toute figure semblable à une figure plane, est également plane, ce qui montre que tous les points d’un même plan ont leurs homologues dans un plan qui est d’ailleurs parallèle au premier.

Remarque. Les Jeux figures abed . . . , a'b'e'd'. . . seraient encore égales, si elles étaient toutes les deux inversement semblables à la troisième. Enfin, si ces deux premières sont planes , elles sont égales encore si l’une est directement, l'autre inversement semblable à la troisième.

Toute figure semblable à un polyèdre est un second polyèdre ayant autant de faces que le premier.

Car le lieu de tous les points homologues à ceux d’une face du polyèdre donné forme une face semblable et parallèle à celle-là (p. 5, c.). Comme il en est de meme de chaque face de l’une des figures par rapport à l’autre, il s’ensuit que la seconde figure est un polyèdre ayant autant de faces que le premier.

Corollaire. Pour que deux polyèdres soient semblables, il suffit donc qu‘on puisse les placer de façon qu’à chaque sommet de l’un, il réponde dans l’autre un sommet qui soit un point homologue du premier par rapport à un centre de similitude quelconque, pourvu cependant que, si plusieurs sommets de l’un quelconque des deux polyèdres, déterminent une face, il en soit de même de leurs homologues dans l’autre.