LIVRE VI

PROPOSITIOIN VU.

TBÉORÈHE.

Dans deux polyèdres directement semblables , les faces pig. 177. homologues sont semblables, également inclinées, semblablement disposées , et les angles polyèdres homologues sont égaux; et réciproquement.

Soient ÀBCDEFGHIK... plusieurs faces adjacentes d’un polyèdre ; abed. . . ., celles d'un second polyèdre directement semblable au premier; O le centre de similitude. A chaque face ABCD, ADEF du premier polyèdre, répond une face semblable abcd, adef dans le second... Ces faces sont assemblées de part et d’autre, par des sommets homologues; celles qui sont semblables sont aussi parallèles et de meme sens (p. 6, c.) ; par conséquent elles sont également inclinées et semblablement disposées. D’ailleurs, les angles polyèdres homologues tels que A, a, composés de faces égales, également inclinées, sont égaux et superposables.

Réciproquement, soient deux' polyèdres ABCD etc., ab'c'd', etc., compris sous des faces semblablês chacune à chacune, formant des angles polyèdres égaux chacun à chacun -.jedisque ces deux polyèdrcssontsemblables. Supposons que les sommets homologues des faces semblables soient ceux qui portent les mêmes lettres. Prenez une droite •

ad égale à céd! et parallèle à AD. Joignez Aa, Dd que vous prolongerez jusqu’à leur rencontre on O, et construisez le polyèdre abcd, etc., semblable à ABCD, etc. La face abcd sera semblable à ABCD; a'b'c'd' l’est aussi , et comme ad, a'd', homologues à AD, sont égales, ces deux faces le sont.

On conclura de même pour les autres. L’angle polyèdre a sera égal à A, et comme a! l’est aussi, on aura a — a'. On pourra donc superposer a sur d; les faces de même nom coïncideront, et en allant d’un angle polyèdre à l’autre, on

établira la coïncidence des polyèdres abcd, etc., db'c'd, etc. Donc a'b'c'd', etc., est semblable à ABCD

THÉORÈME

Deux polyèdres , directement semblables , peuvent se décomposer en un même nombre de tétraèdres semblables , et semblablement assemblés , et réciproquement.

Supposons que les polyèdres proposés soient convexes. Soit A un sommet de l’un des polyèdres; divisez en triangles toutes les fiices, excepté celles qui sont adjacentes au sommet A, et regardez chacun de ces triangles comme la base d’un tétraèdre ayant son sommet en A. Ce polyèdre sera décomposé en tétraèdres. Soit a le sommet qui, dans le second polyèdre , est homologue à A ; décomposez les faces non adjacentes au sommet a en triangles , au moyen de lignes homologues. à celles qui ont été tracées sur le premier polyèdre, et le second polyèdre pourra aussi se décomposer en tétraèdres. Or deux tétraèdres qui auront pour bases des triangles semblables, seront semblables, comme ayant pour sommets des points homologues pris de part et d’autre (p. 6 , c.). Dope les deux polyèdres seront décomposés en tétraèdres semblables, assemblés par des sommets homologues, c’est-à-dire semblablement arrangés. La réciproque se démontre à peu près comme celle de la prop. 7.

Remarque 1. Tout polyèdre non convexe peut se décomposer on potyedres convexes. Car si l’on considère une face qui , prolongée, coupe d'autres faces , et qu'on la prolonge en effet , elle décompose le polyèdre en deux autres dont chacun a moins de faces que le polyèdre donné. Opérant do même sur chacun de ces corps partiels, et ainsi de suite , on arrivera à la décomposition demandée ; car dans le cas le plus défavorable, on arrivera à des tétraèdres, qui sont nécessairement convexes.

LITRE Tl.

Remarque 2. Il existe sur la similitude des tétraèdres des propositions analogues à celles qui ont été établies sur les triangles. On les démontre en suirant une marche analogue. '

TBéORÉHE.

La surface latérale d’un prisme est égale à V arête AA', 17«-

multipliée par le contour d’une section KLMNO , perpendiculaire aux arêtes.

Car cette surface se compose d’une série de parallélogrammes AB', BC', CD', etc. , dont chacun a pour mesure le produit de la base par la hauteur. Mais le plan KLMNO étant perpendiculaire aux arêtes AA', BB', etc., il s’ensuit que ces arêtes sont perpendiculaires aux droites KL,

LM , etc. , situées dans ce plan ( I. 5 , p. 3 ). Donc , si l’on prend AA', BB', etc., pour bases de ces parallélogrammes , les hauteurs seront KL , LM , MN , etc. Ainsi la surface AB' a pour mesure

AA'xKL,

de même, la surface BC' a pour mesure BB'xLM ou AA'xLM,

et ainsi des autres. Donc la somme de ces parallélogrammes a pour mesure AA'x(KL-+-LM-+- etc.) , c’est-à-dire l’arête AA' multipliée par le contour de la section KLMNO perpendiculaire aux arêtes.

Corollaire. Si le prisme est droit, la section KLMNO est égale à la base, et la surfhce conTcxe du prisme est égale à son arête ou à sa hauteur , multipliée par le périmètre de la base.

DÉFiHiTioii XFin. Une pyramide est dite régulière , si fJj. 173. la base ABCDEF est un polygone régulier, et que la hauteur SO passe au centre O de cette base. La surface laté-

GÉOMÉTHIE.

Fig. 173.

Fig. 178.

raie d’une pareille pyramide se compose de triangles isoscèles égaux, 8AB, SBC, etc. Car les rayons du polygone AO ,, BO , etc. , étant égaux , les arêtes AS , BS , etc. , sont égales comme obliques qui s’écartent également de la perpendiculaire. Donc ces triangles sont équilatéraux entre eux et d’ailleurs isoscèles. La hauteur SG de l’un de ces triangles, ligne qui a la même longueur pour tous, se nomme [’apothème de la pyramide.

THÉORèHE.

La surface latérale d’une pyramide régulière est égale au périmètre de la base multiplié par la moitié de l’apothème SG.

Car l’aire du triangle SAB est égale à AB X ^ SG ; il en

est de même des autres triangles SBC, SCD, etc. Donc la somme de ces triangles est égale à ( AB-| 7 BC-f— • •+FA )

xlsG.

Remarque sur le rapport des volumes. Un parallélipipède peut se diviser en parties égales. Si l’on divise l’arête AF en 11 parties égales, et que par les points de division on mène des plans parallèles à la base AD , le parallélipipêde AA' sera aussi divisé en 1 1 parties égales ; la réunion

de deux de ces parties fait les — de AA'. Ainsi un paral-

lélipipède peut être multiplié par un nombre commensurable quelconque.

On peut aussi multiplier un parallélipipède par un nombre incommensurable ; c'est ce qu'on reconnaîtra , comme ou l'a vn au commencement du livre 4 , pour le parallélogramme.

IIVRE vr.

Cela posé , le rapport de deux parallélipipèdes est un nombre abstrait tel , que le produit du second parailélipipède par ce nombre est égal au premier, et en général : DÉpiniTiOH XIX. Le rapport des voluraes de deux corps est un nombre abstrait tel, que le produit du second corps par ce nombre est égal au premier.

Si donc nous disons qu’un corps M est à un corps N, par exemple comme 2:11, il faut entendre que M vaut

les — de N. Réciproquement, si N est divisé en 11 par-

ties égales et que M contienne exactement deux de ces parties, on dira que M : N :: 2 : 11 (comparez I. 3 , p. 3 , d. 6 , et I. 4, d.2).

A l’appui de celle défluilion , remarquez que li, >aus toucher à pig. 178. la base AD, on fait varier l’aréle AF infiuiment peu , le parallélipipéde varie aussi infiniment peu; de sorte que slVarète AF varie d’une manière continue depuis zéro jusqu’à l’infini , le volume du parallélipipède varie de même. .Si donc on a à comparer les volumes do deux corps, on peut Icujours les supposer remplacés par des parallélipipèdes a;ant même base ABCD, et un angle trièdre commun en A. Dés lors l’idée du rapport des volumes de cës corps devient trés-nelto et très-précise.

DépiruTiON XX, La mesure du volume d’un corps est le rapport de ce volume à un autre pris pour unité. On montrera comment le rapport des volumes se ramène aux rapports des surfaces et des lignes (comparez I. 4 , d. 3).

Le mot équivalent s’applique aux volumes comme aux aires.

THÉORÈME

Si deux parallélipipèdes AA', GG' ont un angle trièdre fjg, 17 g. égal en S. et en G, leurs volumes sont entre eux comme les

ao3

GÉOHÉnUE.

produits des arêtes qui forment de part et d’autre l’angle égal, de sorte qu'on a

AA' : GG’ :: ABxACxÂF : GKxGHxGL.

Supposons qu’on ait AB : GK : : 7 : 4