AC:GH
AF:GL::lt:6,
les arêtes que l’on compare étant celles qui prennent la même direction , lorsqu’on superpose les angles A et G.
Divisons AB en 7 parties égales , GK en contiendra 4 ; divisons de même AC en 3 parties égales, GH en contiendra 2. On pourra donc décomposer la base AD en 7x3 parallélogrammes égaux , la base GI en contiendra 4x2. Si par les sommets de ces parallélogrammes on mène des parallèles aux arêtes latérales dans chacun des deux corps, le premier AA' pourra se décomposer en 7 x3 parallélipipèdes égaux , ayant pour bases les parties de la base AD , et pour arêtes latérales des lignes égales à AF. Dans GG' les différentes parties auront des arêtes latérales égales à GL, et le nombre en sera 4x2.
Divisons maintenant AF en 1 1 parties égales ; GL en contiendra 5. Si par les points de division de AF et de GL on mène des plans parallèles aux bases, chacun des 7x3 parallélipipèdes partiels de AA' sera divisé en 1 1 parties égales , telles que kacdgfeb ; AA' en contiendra donc 7 x3xll. De même GG' en contient 4x2x5, et comme ces parties sont toutes égales, on a (d. 19)
(2) AA': GG':; 7x3x11; 4x2x6.
Mais les proportions (1) multipliées par ordre donnent ABxACxAF; GKxGHxGL:: 7.3.11 ; 4.2.6.
Cette proportion ayant un rapport commun avec (2) , on en déduit
• AA' : GG' :: ABxACxAF :GKxGHxGL.
LITRE VI
Si les arèles correspoodantes ne sont pas commensnrables entre elles , cette proportion a encore lieu en vertu de la proposition 4 du livre 3.
Corollaire. Soit P un parallélipipèdc rectangle, A,B,C ses trois arêtes, p un cube, a son arête. D’après le théorème qu’on vient de prouver, on a
P;p:;AxBxC;aXaXa,
ou - = - X - X -•
Prenons p pour unité de volume, a pour unité de lon- P
gueur ; — sera (déf. 20) la mesure du parallélipipêde P;
— , - , — seront les mesures de ses trois aretes. Donc la a a a
mesure du volume d’un parallélipipêde rectangle est égal
au produit de ses 3 arêtes. Si l’on représente la mesure -
par P. , ^ par A.,^, ^ par B,, C,, la relation précédente peut s’écrire sous la forme
P. = A. xB.xC..
Dans cette relation , de même que dans l’énoncé précédent , il y a deux unités sous-entendues : l’unité de longueur et l’unité de volume , qui est le cube construit sur l’unité de longueur.
Le prôduit de A,xB, n’est autre chose que l’aire du rectangle qui a pour côtés les arêtes A, B (1.4, p. 1, c. 1). Si on regarde ce rectangle comme la base du parallélipipède, l’arête C en sera la hauteur, et l’on peut encore dire que le volume du parallélipipêde rectangle est égdl au produit de sa base A. xB, , par sa hauteur C,. Ici il y a trois unités sous-entendues : 1° l’unité de longueur; 2” l’u-
nité de surface qui est le carré construit sur l’unité de longueur ; 3“ l’unité de volume qui est le cube construit sur celle même unilé de longueur. Tous les énoncés analogues au précédent devront être entendus de la même manière dans le reste de cet ouvrage.
Pour mesurer le volume d’un parallélipipède rectangle en mètres cubes , il faudra donc mesurer ses trois arêtes en mètres, et faire le produit de ces trois mesures; si les arêtes sont mesurées en pieds, ce produit sera le volume du parallélipipède exprimé en pieds cubes ; si les arêtes sont exprimées en décimètres, le volume le sera en décimètres cubes.
Supposons qu’il s’agisse de trouver le volume du parai lélipipède rectangle dont les arêtes contiguës sont A, = l”,21 , B.=0'",32 , C, = 0"-,0I2.
On aura A, xB, =0,3872,
puis A, xB.xC, = 0,3872x0,012
Tel est le volume cherebé; l’unité est le mètre cube que l’on indiquera par le signe
Actuellement, remarquons que le mètre se divisant en dix décimètres, le mètre cube, mesuré en décimètres cubes, vaudra 1000 (p. 11, c. 2). Par conséquent les millièmes du mètre cube sont des décimètres cubes. De même les millionièmes sont des centimètres cubes, les billionièmes sont des millimètres cubes. Donc le nombre trouvé ci'dessus vaut 4 décimètres cubes, 646 centimètres cubes, 400 millimètres cubes.
