LIVRE VI

THÉORÈME

Le volume d’un prisme quelconque est égal au produit de sa base par. sa hauteur^,

1“ Soit un prisme triangulaire droit ABCA'B’C'. Du Fig. 179. point B, sommet du plus grand des trois angles de la base ABC, menez BD perpendiculaire à AC; par BD et BB' faites passer le plan BD', qui partagera le prisme en deux autres ayant pour bases les triangles rectangles ABD, DBC.

Sur les triangles ABD, A'B'D' achevez les rectangles AEBD, A'E'B'D', et joignez EE'. Les deux prismes droits AEDD*,

ABEE' seront superposables ; en effet , la base ABD peut se placer sur AEB, et les arêtes latérales, toutes perpendiculaires aux bases, coïncideront eomme étant d’ailleurs égales. Or le parallélipipèdc rectangle ABEE'D a pour mesure aire ADBE x BB' ; donc chacun de ces prismes a pour mesure la moitié de ce produit, ou ABDxBB'. Par une raison semblable, le prisme DBCB' a pour mesure BDCx BB'; donc le prisme donné a pour mesure (ABD+RDC)x BB' ou ABCx BB', c’est-à-dire le produit de la base par la hauteur.

2° Soit un prisme triangulaire oblique ABCDEF, mais Fig. 180. dônt l’une des faces latérales AE est un rectangle. Des points B, E, menez BC', EF', perpendiculaires à CF; les plans ABC', DEF' seront perpendiculaires à BE (I. 6, p. 3) et déterminerontun prisme droit ABC'DEF'. Ce prisme est équivalent au prisme proposé. En effet, les faces latérales étant des parallélogrammes, on a CF = AD =C'F'; donc CF' — CF =CF' — C'F' ou CC'=FF'. Si donc on superpose le triangle DEF' avec son égal ABC' , la droite FF' , perpen- • diculaire à l’un , prendra la direction de CC' perpendiculaire à l’autre, et le point F tombera en C, de sorte que les deux tétraèdres ABC'C, DDF'F sont égaux. Ainsi, le

< Voyez la dernière note â la fln de la Géométrie.

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GÉOMÉTHiE.

corps ABCF'DE-ABC’C = ABCF’DE-DEl''F, c’esuà-dire le prisme droit ABC'F'DE est équivalent au prisme proposé. Le premier a pour mesure DEF' X AD , qui est par suite aussi la mesure du second. Cela posé, du point A menons une perpendiculaire AH au plan DEF, et soit H son pied ; du point F' menons F'G perpendiculaire à DE, et tirons FG, qui sera aussi perpendiculaire à DE (I. 5, p. 6); les triangles DEF, DEF', ayant même base, seront entre eux comme leurs hauteurs GF, GF' (I. 4); d’un autre côté, l’angle FGF' mesure le dièdre DE (I. 6, p. 19) ; l’angle DAH est donc égal à FGF' (1. 5 , p. 24, c. 1), puisque ces deux angles sont aigus. Par suite, les triangles rectangles FGF', DAH sont semblables, et l’on a GF : GF' : : AD : AH ; donc aussi

Ainsi le prisme est égal à sa base DEF, X sa hauteur AH.

3* Si aucune des faces latérales du prisme donné IKLMNO n’est un rectangle , par les trois points I , K , L menez des plans perpendiculaires à IM; l’un de ces plans sera compris entre les deux autres. Admettons que c’est celui . qui passe par I ; il coupera KL entre K et L, et le plan IKL en une droite IR; le plan IRM coupera la face MNO en une droite MP parallèle à IR (I. 6, p. 1 1) et le plan LN en une droite PR parallèle à IM (1. 5, p. 8); la ligure IRPM est donc un parallélogramme et même un rectangle, puisque IR est dans un plan perpendiculaire à IM. Donc notre prisme se décompose en deux autres dont les bases sont IRK, IRL; et comme ils ont chacun une face rectangulaire . PI, cbacun d’eux a pour mesure sa base, multipliée par la hauteur commune. Donc le prisme proposé a aussi pour mesure sa base, multipliée par la hauteur.

Fig. 181. 4° Soit enfin un prisme quelconque ABCDEA'. On par-

tagera la base en triangles ABC, ADC , ADE; par les droites

d’où