LIVRE VI

âC, ad on fait passer des plans qui conlicnncnl l’arètc AA', ce qui décomposera le prisme donné en prismes triangulaires, dont chacun aura pour mesure le produit de sa base par la hauteur du prisme donné. Leur somme aura donc pour mesure le produit de cette hauteur par la somme des bases, c’est-à-dire par la hase ABCDE.

Corollaire 1. Deux prismes de même hauteur cl de bases équivalentes sont égaux en volume.

Corollaire 2. Deux prismes de même hauteur sont entre eux comme leurs bases, et deux prismes de bases équiva. lentes sont entre eux comme leurs hauteurs.

THÉORÈME

Si deux pyramides de même hauteur ont leurs bases sur Fig. 182. un même plan , et qu'on les coupe par un plan mn parallèle à celui des bases :

I® Les arêtes latérales et la hauteur sont coupées pro- . portionnellement ;

2“ Les sections sont semblables aux bases , et sont entre elles comme ces bases,

1® Soient ABCDE, FGH les bases; puisque les deux pyramides ont même hauteur, on peut leur supposer le même sommets. Soient a, b, c„. les points où les arêtes latérales sont rencontrées par le plan mn. Les droites ab, AB sont parallèles comme intersections du plan ASB par les plans parallèles mn, AG; donc on a Sa : SA :: SA : SB, de même Sc : SC : : y : SF : : etc.

2® Les figures ABCDE, abede sont semblables, puisqu’à chaque sommet A , B... de l’une répond dans l’autre un sommet a , A, tel que les droites Aa, BA... concourent en S et y sont divisées proportionnellement. Par conséquent

ABCDE :aAcde:: AB :aA (1. 4, p. 7). Mais le rapport AB: aA

ao8 GÊOHKTRIE.

est égal au rapport de similitude SA : Sa. Donc ABCDE : abcde SA : Sa,

de même FGII -fgh ; : SF ; S/;

or , puisque SA : Sa :: SF : Sf, on aura

ABCDE : abcde : : FGH ‘fgh.

Corollaire. Si les bases ABCDE, FGH étaient équivalentes , les sections abcde , fgh le seraient aussi.

THÉORÈME

183 . Deux tétraèdres de même hauteur et de bases équivalentes sont égaux en volume *.

Soient DABCjD'A'B'C' les deux tétraèdres dont les bases équivalentes ABC, A'B'C' sont supposées situées sur un même plan ; soit AE la hauteur commune. Si les deux tétraèdres n’élaient pas équivalents, soit DABC le plus grand. Divisez la hauteur AE en parties égales infiniment petites, 'et par les points de division menez des plans parallèles aux bases; soient ade, a'd'e' les sections faites par l’un de ces plans; elles sont équivalentes (p. 13 , c.). Il en sera de même des deux sections faites par l’un quelconque de ces mêmes plans. Sur la base ABC et sur l’arète Aa construisez le prisme ABCaic,- faites de même sur la section ade et l’arète af, sur fgh eX.fi, sur ikl et fD. La somme de ces prismes sera plus grande que le tétraèdre DABC. Sur les sections a' d'e'j/'g' A', f/r'/' du second tétraèdre, construisez des prismes intérieurs ayant pour arêtes les parties C'a', etc., de l’arète C'D'. La somme de ces prismes sera plus petite que le second tétraèdre. Donc la différence entre les deux sommes de prismes est plus grande que la différence des des deux tétraèdres. Or, à partir d’en haut , les prismes de même rang sont équivalents. Car , par exemple , les deux 'Voyez l.t dernière noie à la fin de ta Géotnèlric.