LIVRE VI

premiers ont des bases équivalenles Hd , th’t, et même hauteur; U en est de même des suivants jusqu’au dernier du second tétraèdre comparé à l’avant-dernier du tétraèdre DÂBC. La différence entre ces deux sommes est donc égale au prisme ABCaéc, qui est infiniment petit comme ayant une hauteur infiniment petite. Donc la différence entre les deux tétraèdres est aussi infiniment petite; ainsi on ne peut lui supposer aucune valeur, quelque petite qu’elle soit; elle est donc nulle, et ces deux corps sont égaux en volume.

THÉORÈME

Le volume d’une pyramide quelconque est égal au pro- Fig. 184, duit de la base par le tiers de la hauteur.

Soit d’abord un tétraèdre EABC; je dis qu’il est le tiers du prisme triangulaire DABCEF,qui a même base et même hauteur. Car si de ce prisme on ôte le tétraèdre EABC , il reste la pyramide EACFD, qui a pour base le parallélogramme DÂCF. Menez le plan EAF, qui décomposera cette pyramide dans les deux tétraèdres EACF, EADF, ayant pour bases les deux triangles égaux ADF , ACF ; ces bases sont d’ailleurs sur un même plan, les sommets des deux tétraèdres sont au même point E, de sorte qu’ils ont aussi même hauteur, et sont équivalents (p. 14). Mais les té-' traèdres ADEF, EABC peuvent être considérés comme ayant pour bases les deux bases du prisme, c’est-à-dire les triangles DEF, ABC qui sont égaux, et pour hauteur celle du prisme. Ces deux tétraèdres sont donc aussi équivalents. Donc le prisme est la somme de trois tétraèdres équivalents; par conséquent l’un de ces corps E.\6C est le tiers du prisme, et a pour mesure le produit de la base par le tiers de la hauteur (p. 12).

Soit actuellement une pyramide quelconque SABCDE. Fig. 182.

il ] O GÉOHÉTRIK.

Divisez la base en triangles ABC, ACD,' ADE. Par les diagonales AD, AC et par l’arète SA, faites passer des plans qui décomposeront la pyramide donnée en tétraèdres ayant même hauteur que la pyramide proposée , et pour bases CCS différents triangles. Chacun de ces tétraèdres a pour mesure le produit de sa base par le tiers de sa hauteur; donc leur somme aura pour mesure le tiers de la hauteur multiplié par la somme des bases, c’est-à-dire par la base ABCDE.

Corollaire 1. Toute pyramide est le tiers du prisme de même hauteur et de base équivalente.

Corollaire 2. Deux pyramides de bases équivalentes sont entre elles comme leurs hauteurs, et deux pyramides de même hauteur sont entre elles comme leurs bases.

Corollaire 3. Deux tétraèdres qui ont on angle triédre égal sont entre eux comme tes produits des arêtes qui comprennent cet angle. Car si sur les arêtes de ces angles on construit des parallélipipédes. CCS deux corps seront entre eux comme ces produits (p. 11). Or chacun de ces tétraèdres est le sixième do parallélipipède correspondant. Donc les tétraèdres sont aussi entre eux comme ces mêmes produits.

Corollaire A. Tout polyèdre peut être décomposé en pyramides; par conséquent on saura évaluer le volume d’un polyèdre quelconque.

Fig. 182. Dèfinitiok XXI. On appelle tronc de pyramide la partie comprise entre la base ABCDE d’une pyramide , et un plan abede parallèle à cette base; Les polygones semblables ABCDE, abede sont les bases du tronc; la perpendiculaire menée entre ces deux bases est la hauteur du tronc.