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THÉORÈME

Le tronc de pyramide est égal à la somme de trois pyramides ayant pour hauteur commune celle du tronc et pour bases, l’une la base inférieure, l’autre la base supérieure, la troisième, une moyenne proportionnelle entre ces deux bases.

Soit SXBCDE la pyramide entière , abcde la base supérieure. Sur le plan delà base ABCDE soit pris un triangle FGH équivalent à cette base. Prenons ce triangle pour base d’une pyramide SFGH qui ait son sommet en S; celte nouvelle pyramide sera équivalente à la pyramide donnée , comme ayant base équivalente et même hauteur (p. 15, c. 2). Mais si l’on prolonge le plan de la base il cou-

pera le tétraèdre SFGH suivant un triangle , équivalent à abcde (p. 13, c.). Les deux pyramides partielles Sabede, Sfgli ont donc aussi la même hauteur et des bases équivalentes; elles sont donc équivalentes. Donc, si des pyramides totales, qui le sont aussi, on ôte les deux petites pyramides, les deux troncs ABDaAd, FGH^/t sont aussi égaux en volume. Par conséquent, tout tronc de pyramide ABDaAd peut être transformé en un tronc de tétraèdre de même volume , ayant la même hauteur et des bases respectivement équivalentes. II suffit donc de démontrer la proposition actuelle pour le cas du tronc de tétraèdre.

Soit ABCDEF un tronc de tétraèdre. Par les trois points Fig. 185. A, E, C faites passer un plan qui détachera du tronc le tétraèdre EABC , ayant pour base la base inférieure ABC du tronc, et pour hauteur celle du tronc, puisque le sommet E se trouve sur le plan DEF ; c’est le premier tétraèdre demandé. Reste la pyramide quadrangulaire qui a pour sommet le point E, et pour base le trapèze DACF. Par les

trois points D , E, C on fera passer un plan qui décomposera celle pyramide dans les deux tétraèdres EDFC, EDAC. Le tétraèdre EDFC peut être considéré comme ayant pour base le triangle EDF, base supérieure du tronc, pour sommet le point C, et par conséquent pour bailleur celle du tronc. C’est le second tétraèdre demandé. Quant au dernier EDAC, pour le transformer, on mènera du point E la droite EG parallèle à DA. Celle droite EG sera parallèle au plan DAC (1. 6, p. 8), et par suite partout également distante de ce plan (1. 5, p. 8, e.). Par conséquent le tétraèdre GADC , qui a pour base le triangle ADC et pour sommet le point G, et le tétraèdre EDAC auront même base ADC et même hauteur et seront équivalents (p. 14). Mais le nouveau tétraèdre GADC peut être considéré comme ayant pour sommet le point D et pour base AGC; il a donc même hauteur que le tronc, et je dis que la base AGC est moyenne proportionnelle entre les bases ABC, DEF.

En effet, menez GH parallèle à BC; celte ligne sera aussi parallèle à EF (I. 5, p. 7, c.); les droites AG, DE sont égales comme parallèles entre parallèles; ainsi les deux triangles AGH, DEF sont égaux. Or, les triangles AGH , AGC ont les bases AH, AC sur une même droite, le sommet commun en G; ils ont donc même hauteur, et l’on a (I. 4, p. 3 , c. 1)

AGH ou DEF : AGC : : AH : AC,

Par une raison semblable, on a