LIVRE I

2® Soient les angles BAC, bac, le côté ab étant supposé Fig- 1"perpendiculaire à AB, ac à AC. Supposons l’aitgle BAC aigu et au point A élevons au-dessus de AC les droites AC', AB', respectivement perpendiculaires à AC , AB. Les droites AC, ad, étant perpendiculaires à AC, sont parallèles (p. 11 et d. 16); de même AB' est parallèle à ab; donc des deux angles en a l’un est égal à B'AC, l’autre est le supplément de B'AC. Mais l’angle B'AC =B' AC —

CAC et BAC = B'AC-*-B'AB; or les angles B'AB, CAC sont droits; donc BAC=B'AC. Donc aussi , des deux angles baé, bac, l’un est égal à BAC, l’autre en est le supplément. Si l’aqgle BAC n’est pas aigu , on prolonge CA vers la gauche pour former avec AB un angle aigu , et l’on raisonne comme on vient de le faire.

THÉORÈME

Deux droites AB , CD , parallèles à une troisième EF, Fig. 18 . sont parallèles entre elles.

Menez une droite quelconque GII perpendiculaire à EF, puisque AB est parallèle à EF, la droite GH sera aussi perpendiculaire à AB (p. 1 4 , c,). De même CD étant parallèle à EF, GH sera perpendiculaire à CD; donc les droites AB,

CD sont perpendiculaires à une même droite GH, et par conséquent elles sont parallèles (p. 11 et d. 16).

THÉORÈME

Les parallèles AB,- CD, comprises entre des parallèles AD,BC , sont égales.

Tirez AC; les deux triangles ABC, ADC auront un côté Fig. 10. commun AC; les angles BAC, ACD sont égaux comme alternes internes par rapport aux parallèles AB, CD, cou-

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pécs par la sécaiile AC (p. 16, r. 1°); les angles BCA , CAD sont aussi égaux comme allerncs internes par rapport aux parallèles AD, BC , coupées par la même sécante AC. Donc les triangles ABC, ADC ont un côté égal adjacent à deux angles égaux chacun à chacun et sont égaiix (p. 6); ainsi les côtés AB , CD , opposés à des angles égaux , sont égaux. De môme AD = BC.

20. Corollaire. Si AD était perpendiculaire à DC, il le serait aussi à AB (p. 14, c.); BC, qui est parallèle à AD, serait aussi perpendiculaire à DC et à .AB. Les droites AD, BG mesurctil tians ce cas la distance des parallèles AB, CD, et comme AD=BC, il en résulte que deux parallèles sont partout également distantes.

THÉORÈME

Dans tout triangle ABC la somme des angles est égale à deux angles droits.

•21. Prolongez BA vers E, et du point A menez AD parallèle à BC. Les angles B et EAD sont égaux comme correspon- ’ dants par rapport aux parallèles BC, AD, coupées par la sécante EB; les angles C et CAD sont égaux comme alternes internes par rapport aux mômes parallèles coupées par AC ; donc B-+-C=;EAD-1-DAC , et si l’on ajoute de part et d’autre l’angle BAC, on a la somme des trois angles du triangle B-i-C-|-BAC , égale à la somme des trois angles consécutifs EAD+DAC-f-CAB , laquelle vaut deux angles droits (p. 2, r.).

Corollaire I. Deux triangles qui ont deux angles égaux chacun à chacun ont aussi le troisième angle égal de part et d’autre.

Corollaire 2. Si dans un triangle l’un des angles est droit, les <leux autres valent ensemble un angle droit, et l’un quelconque de ces deux angles aigus est dit complément de l’autre.

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