LIVRE VI

laquelle prouve que la base AGC csl moyenne proportionnelle entre DEF et ABC.

Remarque. Le triangle AGC a même base AC que le triangle ABC et même bailleur que AGH ou DEF.

ÜÈFnunoy xxii. Un prisme que l’on coupe par un plan non parallèle aux bases, mais rencontrant toutes les arêtes latérales, se trouve décomposé en deux parties, qu’on nomme des troncs de prisme.

THÉORÈME

Le volume d’un tronc de prisme triangulaire ABCDEF Fig. 180 . est égal à la somme de trois tétraèdres ayant pour base commune l’une quelconque des deux bases du tronc, et pour sommets les trois sommets de l’autre base.

Par les trois points E, A, C faites passer un plan qui détachera du tronc le tétraèdre EABC, dont la base est ABC et le sommet le point E. C’est l’un des tétraèdres demandés. Il reste la pyramide quadrangulairc EACFD; au moyen du plan ECD on la décomposera dans les deux tétraèdres EDFC, EDAC; ce dernier est équivalent au tétraèdre BDAC , parce qu’il a même base DAC et même hauteur, les sommets E, B étant sur une parallèle au plan de la base. Mais le tétraèdre BDAC peut être considéré comme ayant pour base ABC et pour sommet le point D; c’est le second tétraèdre demandé. Quant au troisième tétraèdre EDFC , il est équivalent au tétraèdre BACF. Car les bases de ces deux corps sont les triangles DFC, AFC ; or , ces deux triangles ont la base commune FC, et les sommets D, A sur une parallèle à cette base; ils ont donc aussi même hauteur et sont équivalents. Mais les sommets E, B des tétraèdres EDFC, B AFC sont aussi sur une parallèle au plan ACFD des bases; ces deux corps ont donc aussi même hauteur; donc ils sont équivalents. Si enfin

on remarque que le tétraèdre FABC peut être regardé comme ayant pour base le triangle ABC et pour sommet le point F , on reconnaîtra que c’est le troisième des tétraèdres en question.

Corollaire 1. Si les arêtes AD , EB, FC sont perpendiculaires au pian ABC, le volume du tronc sera égal à

^Bc/n+M+FC

Corollaire 2. Tout tronc de prisme pouvant se décomposer en troncs de prismes triangulaires, on saura calculer le volume d’un tronc de prisme quelconque.

THÉORÈME

Deux polyèdres symétriques sont équivalents.

Fig. 187. 1° Soient d'abord deux tétraèdres symétriques ayant pour plaii

de symétrie une face commune ABC. Soient D, D' les sommets; puisque ces deux points sont symétriques par rapport au plan ABC, les hauteurs DE, D'E des deux tétraèdres sont égales; ils ont d'ailleurs même base; donc ils sont équivalents.

2° Soient en second lien deux polyèdres symétriques quelconques; on pourra les décomposer en un même nombre de tétraèdres symétriques deux i deux. A cet effet , après avoir formé un tétraèdre au moyen de quatre sommets du premier polyèdre, il sufllra de prendre dans le second les sommets symétriques do ceux-là pour sommets d'un autre tétraèdre qui sera symétrique du premier (p. 3, c. 1), et loi sera équivalent. Les deux corps pouvant ainsi être considérés comme composés de parties équivalentes deux à deux , sont équivalents.

Bemarqae. Si les polyèdres ne sont pas convexes , les tétraèdres seront les uns additifs , les autres soustractifs.