LIVRE VI

THÉORÈME

Les surfaces de deux polyèdres semblables sont comme les carrés des dimensions homologues ; leurs volumes sont ~ comme les cubes de ces mêmes dimensions.

Soient A, B, C, etc., des faces de l’un des polyèdres; a, b, c... leurs homologues dans l’autre; nommons (A , B) l’arète supposée commune aux faces A et B ; (a , 6) l’arète commune aux faces a, 6 et ainsi de suite , on a (1. 4 , p. 7)

Mais on a aussi B : ô : : (A, B)’ : (a, bf.

D’où A : a ; : B ; 6 ;

de même : : C ; c : ; , etc.

De là A+B-I-CH-, etc... : a-+-6+c-f-, etc.

: : A : a : : (A, B)’ : (a, bf etc.

Passant aux volumes, considérons deux tétraèdres di- Fig. 188. rectement semblables ABCD, AAcd, et supposons -leur l’angle trièdre en A commun, ce qui est permis, puisque les angles homologues sont égaux. Le point A étant pris pour centre de similitude, le plan dbc sera parallèle à DBG (p. 6) , et si l’on mène la hauteur AE qui rencontre le plan bcd en e, on a (p. 13)

AE ; Ae : ; AB : Kb : : BC : bc, ou -T AE : — Ae : : BC : bc.

Mais on a aussi BCD : bcd : : BC : êc , multipliant, on* obtient

^ AE xBCD : I Ae X bcd ; : BC : bc.

Or — AE X BCD, ^ Ac x bcd sont les volumes des té-

traèdres ABCD, kbcd; donc ces volumes sont comme les cubes des arêtes BC, bc , ou comme les cubes de deux dimensions homologues quelconques.

Soient enfin deux polyèdres semblables quelconques P, P ; décomposons-les en tétraèdres semblables (p. 7); soient T, T, r"... ceux du premier; t, t' , t " leurs semblables dans le second; nommons {T, T) une arête commune à T et T, (t, t') son homologue , et ainsi des autres. D’après ce qu’on vient de prouver , on a

T.f.:(T, r :«'::etc.

Ainsi r-+-r-+- ... : t+t'-h (T, ry : (t, t'y , ou P-.p ::(T,ry:{t,t’y.