LIVRE VII

THÉORÈME

La lurfaee du cylindre droit est le lieu de tous les points qui sont à f ig- 190. égales distances d’une me'me droite menée par le centre du cercle directeur, et perpendiculaire au plan de ce cercle.

Soit DFEG la circonférence directrice , B son centre ; soit DC une génératrice quelconque , B\ une perpendiculaire élevée au plan du cercle par son centre B; ces deux droites, perpendiculaires an même plan, sont parallèles, et par conséquent partout ' également distantes; leur distance est mesurée par. le rayon DB.

Il en est de même d'une arête quelconque. Il est évident d’ailleurs que tont point intérieur est plus rapproché de AB que les points de la surface , et que tout point extérieur est plus éloigné do la même droite AB.

Remarque. La droite AB, perpendiculaire au plan du cercle directeur, et menée par son centre, s’appelle l’are du cylindre. Faire mouvoir la droite CD autour de AB , de façon que le point D décrive la circonférence DFE et que celte droite elle-même reste perpendiculaire au plan .

DFE, revient au même que de faire tourner CD autour de AB , de manière qu’elle reste parallèle à AB , et toujours à la même distance de cette droite.

DÉFiiiiTiOH ni. Une surface conique ou un cône est en- Fig. 19i. gendré par une droite AG", qui se meut en passant constamment par un point D et s’appuyant sur une courbe donnée ABC. La droite mobile AG" est appelée arête ou génératrice, le point D est le sommet, la courbe ABC la directrice.

Chacune des deux parties DA , DG" , comptée à partir du sommet du cône, décrit une partie de cette surface, et ces parties se nomment des nappes.

Toute droite qui joint le sommet à un point quelconque de la surface du cône est tout entière sur la surface.

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THÉORÈME

Fig. 191. Les sections faites dans un cône par des plans parallèles sont des courbes semblables; les sections faites par des plans qui passent au sommet, sont des arêtes.

1® Soient EFG , E'F'G', E''F''G" des sections faites par des plans parallèles; si l’on joint le sommet D à des points quelconques E, F, etc., pris sur l’une de ces sections, on déterminera sur l’autre des points E' , F' , etc. , homologues de ceux-là par rapport au point D, puisque les plans EFG , E'F'G' sont parallèles; il en est de même de la section E"F"G". Donc ces courbes sont semblables.

2® Si par le sommet D on mène un plan DI , qui rencontre en des points 6 , B' une courbe quelconque tracée sur le cône, les droites BD, B'D seront à la fois sur le cône et sur le plan : elles sont donc à l’intersection de ces deux surfaces.

Corollaire. Le cône peut doac £tro engendré par nne conrbo EFG qni se meut de façon qu'un de ses points décrive une droite BD , et qui. Tarie de grandeur en restant semblable à elle-même, de manière que ses dimensions soient avec la distance FD dans un rap- , port donné, et que deux cordes quelconques EF, FG restent parallèles à elles-mêmes.

Fig. 19-2. Dépinitioh rr. La surface conique est dite circulaire si la directrice EGF est une circonférence de cercle. Si de plus la droite qui joint le sommet A au centre de cette circonférence est perpendiculaire au plan de cette courbe, on dit que le cône est droit. Soient ÂE , AC, AF plusieurs arêtes d’un cône droit, et soient menés les rayons BE, BC, BF; les triangles rectangles ABE, ABC, ABF seront égaux; par conséquent , les angles EAB , CAB , etc., que les arêtes font avec AB, sont égaux. Le cône droit peut