LIVRE VII

donc être engendré par un côté ÂC d’un angle invariable BAC , qu’on fait tourner autour de l’autre côté AB, supposé immobile. Cæ côté AB se nomme l’axe du cône. Le prolongement AC du côté AC décrit la seconde nappe du cône.

Remarque. Les deux nappes d’un cône quelconque sont symé- Fig. 191. triques : car l'angle triedre DABC est symétrique de UE"F'‘G''.

Dans le cas du cône circulaire, cette symétrie se change en égalité : car le plan mené par le sommet et par le centre du cercle directeur , perpendiculairement au plan de ce cercle , est un plan de symétrie, de sorte que le cône se confond avec son symétrique pris par rapport à ce plan.

ndri.viTiox r. Une surface de récolulion est une surface engen- Fig. 193. drée par une ligne quelconque KCL qui tourne autour d’une droite immobile AB, à laquelle elle est liée invariablement. La droite AB se nomme l’axe,' la génératrice KCL peut être droite ou courbe, plane ou non. (Cne ligne plane est celle qui peut être contenue dans un plan.)

Le cylindre droit et le cône droit sont des surfaces de révolution.

Tout plan passant par l’axe est appelé plan méridien; les sections contenues dans ces plans sont appelées sections méridiennes.

Les sections faites par des plans perpendiculaires à l’axe sont nommées des sections droites.

THÉORÈME

Dans toute surface de révolution, les sections droites sont des cer- Fig. 193. eles qui ont leurs centres sur l'axe; les sections méridiennes sont égales entre elles.

SoitC le point où la génératrice KCL est rencontrée par un plan perpendiculaire à Taxe; soit menée de ce point la droite CD perpendiculaire à l’axe Ali ; pendant que la génératrice tourne autour de AB , la droite CD décrit un plan perpendiculaire à l’axe ; d’ailleurs la distance CD ne changeant, le point C décrira dans ce plan une circonférence de cercle dont le centre est en D sur l’axe.

Donc , si par DC ou par D on mène un plan perpendiculaire à l’axe,

ce plan coupera la surface suivant une circonférence de cercle qui a pour centre le point D.

En second lieu.soicnl ACBI, AGIUIdcux sections méridiennes. Coupez-lespar on plan CGH perpendiculaire à l’axe; la section résultante CGII sera une circonférence de cercle; ainsi les rayons CD, GD sont égaux. Par conséquent, si l’on fait tourner le plan ACB autour de AB, le point Cde la courbe ACB viendra coïncider avec le point G; on démontrera de même que chaque point de la section ACBI vient se confondre avec un point do la courbe AGBII; donc ces deux courbes sont égales.

Corollaire. Ainsi la surface do révolution peut être engendrée par une demi-section méridienne ACB tournant autour de Taxe. Elle peut encore être engendrée par nn cercle CGH assujetli à se mouvoir do manière 1" que son centre parcoure l’axe, 2“ que son plan reste perpendiculaire à cet axe, 3“ que le rayon varie on sorte que la circonférence ait toujours un point commun avec la courbe méridienne, ou avec une autre courbe donnée KCL.

l'ig. 194. Remarque. L'intersection de deux surfaces de révolution qui ont même axe se compose d’une ou de plusieurs sections droites. En effet, soit AB l'axe commun, soient ADC^ EDB des sections méridiennes situées dans un même plan , D un point commun à ces sections ; do ce point D menons DF perpendiculaire à l’axe. Pendant que le plan ADB tournera autour de l’axe , les courbes ADC , EDB décriront les deux surfaces, la droite DF décrira un plan perpendiculaire à l'axe , et le point D qui reste toujours commun aux deux méridienncs,décrit une circonférence de cercle commune aux deux surfaces. Ainsi tout point commun aux deux méridiennes décrit une circonférence de cercle commune aux deux surfaces. Donc,clc.

Fig. 195. Défi.’ution fi. La sphère esl engendrée par un demicercle AGC tournant autour du diamètre ÂC, auquel il se termine. Dans ce mouvement l’arc AGC décrit la surface de la sphère; or, les points de cet arc restent tous à la même distance du centre 6; par conséquent la surface de la sphère est le lieu de tous les points qui sont à la même distance du centre. Il suit de là que si l’on a deux sphères égales et concentriques, et que l’on fasse tourner l’une d’elles autour de son centre , elle ne cessera pas de coïncider avec l’aulre.

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