LIVRE VII

Toute section de la sphère par un plan est une circonférence de cercle.

Soit FGH une section de la sphère par un pian, 6 le Fig. 195. centre de la sphère. Si le plan FGH ne passe pas au centre, menez de ce centre B une perpendiculaire BL au plan FGH, et soit L le pied de cette perpendiculaire sur le plan; joignez le centre B à différents points H, F, G du périmètre de la section ; les droites BH , BF, BG sont égales comme rayons de la sphère ; par conséquent elles s’écartent également de la perpendiculaire BL, de sorte que les distances LG, LF, LH sont égales. La section HFG a donc tous ses points à la même distance du point L ; par suite celte section est une circonférence de cercle qui a pour centre le point L, pied de la perpendiculaire ahaissée du centre de la sphère sur le plan de cette section.

Si le plan passe au centre de la sphère , la distance du centre à chaque point du contour de la section est égale au rayon de la sphère; la section est donc encore un cercle.

Corollaire 1. Les cercles dont les plans ne passent pas au centre de la sphère ont des rayons moindres que le rayon de la sphère. Car FB , rayon de la sphère , est une oblique , tandis que FL , rayon de la section , est une perpendiculaire à BL. Donc FL FB.

Les cercles dont les plans passent au centre se nomment des grands cercles ; dans une même sphère les grands cercles sont tous égaux, comme ayant des rayons égaux. Les autres cercles sont appelés petits cercles.

Corollaire 2. Deux grands cercles se coupent toujours en deux parties égales. Car, passant au centre, leurs plans se coupent suivant un diamètre qui divise chacun des deux cercles en deux parties égales.

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Corollaire 3. Tout grand cercle divise la sphère en deux parties égales ; car si l’on place l’un des hémisphères dans l’autre, en leur conservant ce grand cercle pour base commune , tous les points de la surface de l’un coïncideront avec la surface de l’autre , sans quoi il y aurait sur ces sur- • faces des points inégalement distants du centre.

Corollaire 4. Par deux points pris sur la surface de la sphère on peut toujours faire passer un grand cercle. Si les deux points sont en ligne droite avec le centre, tout plan qui les contient passera par le centre et coupera la sphère en un grand cercle passant par ces deux mêmes points. Si les deux points ne sont pas en ligne droite avec le centre, ils déterminent avec le centre un plan unique, lequel coupera la sphère dans un grand cercle passant par ces deux points; dans ce cas, on ne pourra donc faire passer par les deux points donnés qu’un seul grand cercle , ce qui résulte aussi de ce que deux grands cercles se coupent toujours suivant un diamètre.

Corollaire ô. Le diamètre d’un petit cercle est, comme GH, une corde d’un grand cercle; par conséquent le diamètre d’un petit cercle est d’autant plus petit que ce petit cercle est plus éloigné du centre de la sphère.

196. DÉFiniTioN rii. Un triangle sphérique est la partie ABC interceptée sur la surface de la sphère par trois arcs de grand cercle AB, AC, BC, arcs qui sont appelés les côtés du triangle. Les angles que forment les plans de ces arcs sont ce qu’on entend par les angles du triangle. Joignons les sommets A, B , C au centre O de la sphère; les trois rayons AO , BO, CO détermineront un angle trièdre OABC, dont les faces AOB, AOC, BOC auront pour mesure les côtés AB , AC , BC du triangle sphérique , et dont les angles dièdres sont les angles de ce triangle.

En prolongeant l’arc AC pour former la circonférence entière , on obtient un second triangle ayant pour côtés les arcs AB , BC et l’arc AC'A'C; ce triangle répond à un