LIVRE VU

angle irièdre dans lequel la face mesurée par ce dernier arc est plus grande qu’une demi-circonférence. On peut de même prolonger deux côtés, et môme tous les trois, et former ainsi des triangles dans lesquels il y a deux ou trois côtés plus grands qu’une demi-circonférence. Mais si on retranche chacun de ces côtés d’une circonférence entière, on retombe sur le triangle ABG, dont chaque côté est moindre qu’une demi-circonférence. Par cette raison on ne s’occupera ici que des triangles qui remplissent cette dernière condition, et qu’on appellera triangles convexes-

Définition nu. Un polygone sphérique est formé sur fig. 197 . la surface de la sphère par plusieurs arcs de grand cercle; tel est ABCDE. Tout angle polyèdre dont le sommet est au centre intercepte sur la sphère un polygone sphérique dont les côtés mesurent les faces de l’angle polyèdre; les angles dièdres de ce même angle polyèdre sont ce qu’on appelle les angles du polygone. Le polygone sphérique est dit convexe lorsque aucun de ses côtés prolongés ne coupe quelque autre côté entre les extrémités de celui-ci. Si donc l’angle polyèdre correspondant est convexe, le polygone sphérique l’est aussi , et réfciproquemenl.

THÉORÈME

Dans tout polygone sphérique convexe la somme des côtés est moindre qu’une circonférence de grand cercle.

En effet, dans l’angle polyèdre correspondant la somme des faces est moindre que quatre angles droits (1. 6, p.21); donc la somme des côtés du polygone , côtés qui mesurent ces faces , est moindre qu’une circonférence, qui mesure les quatre angles droits.

GÉOMÉTAIE.

THÉORÈME

Fig. 196. Dans tout triangle sphérique ABC un côté quelconque est plus petit que la somme des deux autres.

Car dans l’angle trièdre correspondant OABC chaque face est moindre que la somme des deux autres; donc aussi chacun des arcs AC, AB, BC qui mesurent ces faces est plus petit que la somme des deux autres.

THÉORÈME

La plus courts ligne sur la surface de la sphère, d’un point à un autre de cette surface , est l'arc de grand cercle gui joint ces deux points, si cet are ne surpasse pas la demi-circonférence.

Pour prouver ccKo propriété, on démontrera les deux points suivants :

Fig. 108. 1° Si deux arcs de grand cercle ACB, AED sont égaux, la ligne

la plus courte , menééfsur le sphère entre les points A , B, est égale à celle qui est menée entre A et D.'En effet, soit AoB la première de ces lignes, A&p la seconde. Faites tourner autour du rayon AO toute la partie de la sphère comprise entre les lignes AED, AbD jusqu'à ce que le plan ADO coïncide avec le plan ABO; cette partie AEDb ne quittera pas la surface de la sphère, et comme l'arc AED = ACB, le point D viendra en B. Donc les deux arcs étant . alors confondus en on seul, les lignes AbD, AaB seront égales. Car si l'une des deux était plus grande qne l'autre, celle-ci serait la plus courte distance, et l'autre ne la serait pas.

2° Si de deux arcs de grand cercle ACDF, AED, tous les deux moindres qu'une demi-circonférence, l'un, ACBF, est plus grand que l'autre, la plus courte distance des extrémités A , F du premier, surpassera celle des extrémités A, D du second. Pour le prouver, menez le diamètre AA', et du point D menez à ce diamètre un plan perpendiculaire DDL qui coupera la sphère en un petit cercle DGB, et l'arc ACBF en un point B. Soit L le centre de la section DGB. Les rayons BL. DL étant égaux, si l'on tirait les cordes AB, AD,