LIVRE VII

elles seraient égales connue également écartées de la perpendiculaire AL ; par suite les arcs ACB , AF.D sont égaux ; donc le point F, extrémité do l'arc ACBF qui est plus grand que AED ou que ACB, tombera au delà de B par rappord à A. Mais l'arc ACBF est aussi moindre qu'une dcmi-circourérencc; donc ce point F tombe entre B et A'. Doue enfin les points A et F tombent do différents côtés du plan BGD, et quelle que soit la plus courlo ligne entre A et F, cette ligne coupera la circonférence BGD en un point G. Soit A/GF celle ligne. Joignez le point Gau point A par un arc de grand cercle Gd\ ; on prouvera comme ci-dessus que cet arc est égal .à l'arc AGD ; donc la plus courte distance de A en G, laquelle est ici par hypothèse AfO, est égale à la plus courte distance de A en D, qui est A6D ; or, A/'GF > A/G ; donc aussi AfGV > A6D.

Cela posé, soient A et B deux points pris sur une sphère, AMB Fig. 199. l'arc do grand cercle qui les joint , cet arc ne surpassant point une demi-circonférence. Je dis qu'aucune ligne qui, tracée sur la sphère, passe par un point G pris hors de cet arc , ne saurait être la plus courte distance entre A et B. Car, soient menés les arcs do grand cercle AC, BC, dont aucun no surpasse une demi-circonférence. Si l'arc AC était plus grand que AB, la plus courte dis- ' tance de A en C serait plus grande que celle qui sépare A et B; par conséquent cette dernière ne saurait passer par C. Supposons donc l'arc AC<AB, et prenons AM = AC. Puisque chacun des trois arcs AB, AC, BC est moindre qu'une demi-circonférence, ou a dans le triangle ABC (p. 7), lAB < AC -H CB ; retranchant d'un côté AM, de l'aulre son égal AC, on a MB<BC. Donc la plus courte distance de A en M est égale à celle qui va de A en C ; mais celle qui sépare les points M , B est plus courte que celle qui sépare les points C, B. Donc , quelle que soit la ligne la plus courte, . elle ne saurait passer par un point C extérieur à l'arc AMB. Donc enfin elle se confond avec cet arc.

Définition ix. Le pôle d’un cercle de la sphère est un point de la surface sphérique, lequel est à égale distance de tous les points de la circonférence de ce cercle.

, THÉORÈME

Tout cercle d’une sphère a deux pôles situés aux extrémités du diamètre perpendiculaire au plan de ce cercle.

Soit d’abord un grand cercle DEFO, AC le diamètre perpendiculaire au plan de ce cercle. Menez du point A des arcs de grand cercle AHD, AIE, AKF à différents points de la circonférence DFG, et joignez le centre B de la sphère à ces mômes points par les rayons BD, BE, BF. Puisque AC est perpendiculaire au plan DEC, les angles ABD, ABE, ABF sont droits; donc les arcs AHD, AIE, AKF qui leur servent de mesure sont égaux entre eux , et sont d’ailleurs des quarU de cercle ou des quadrants. Ainsi le point A est également éloigné de tous les points de la circonférence DEC; donc il est un pôle du cercle DEG. On prouvera la même chose pour le point C.

Soit en second lieu HIRM un petit cercle, AC le diamètre perpendiculaire à son plan, L le point d’intersection de ce plan et du diamètre AC, point qui est le centre du cercle HKM. Menez'du point A à différents points H, I, K de la circonférence HKM, les arcs de grand cercle AH , AI, AK, tirez les rayons LH, LI, LK. Les cordes AH, AI, AK seront égales comme obliques également écartées de la perpendiculaire. Donc les arcs soustendus AH , AI , AK sont aussi égaux, et le point A est egalement distant de tous les points de la circonférence HIM. Oà prouvera la môme chose pour le point C, Donc A et C sont les pôles du cercle HIM.

Corollaire 1. D’après cela on saura décrire sur la surface de la sphère des arcs de cercle aussi bien que sur un plan. Si l’on place une pointe d’un compas en A , l’autre en H, et que, sans changer l’intervalle qui sépare ces deux pointes , on fasse tourner le compas autour de A , la