LIVRE I

Remarque. On a prouvé ci-dessus que B-f-C = EAD -f-DAC ou =EAC. Ainsi, dans tout triangle, l’angle extérieur EAC est égal à la somme des deux intérieurs opposés B et C.

DÉFimTiON XVII, Tout triangle ABC dans lequel il y a Kig. 6. un angle droit B se nomme triangle rectangle; le côté AC opposé à l’angle droit est appelé hypothénuse. .

VÉPiNiTion xviji. Toute portion de plan terminée de i-ig. -22 toutes parts par des lignes droites s’appelle un polygone. ' Le plus simple des polygones est le triangle. Le polygone de 4 côtés SC nomme quadrilatère ; celui de 6 côtés , pentagone; celui de 6 côtés, hexagone; celui de 7 côtés, eplagone ; de 8 côtés, octogone; de 10, décagone; de 12, dodécagone; de pentédécagone , etc.

Définitiou XIX. Un polygone est dit convexe si le pro- Fig. 22. longement d’aucun côté ne vient couper le contour de ce polygone.

Un polygone est appelé non convexe si les prolonge- Fig. 23. ments de certains côtés, tels que CD, DE, coupent le contour du polygone.

Remarque, Tout polygone non convexe peut se décomposer en polygones convexes. Car si l'on considère un côté dont le prolongement coupe le coutour de la figure et qu’on prolonge ce côté en efret jusqu'à son premier point de rencontre avec le contour, le polygone sera décomposé en deux autres, qui auront chacun moins de côtés que la figure proposée. Opérant de même sur chacun de ces nouveaux polygones, s'il y a lieu , on décomposera le polygone proposé en d’autres qui auront do moins en moins de côtés. Donc on arrivera finalement, ou bien à des polygones convexes de plus de trois côtés, ou à des triangles , c'est-à-dire toujours à des polygones convexes.

Défihitiou XX. On appelle diagonale toute droite telle j. jg, 24 que AC ou BD qui joint les sommets de deux angles non * 2®adjacents dans un polygone.

géoh£trie.

Fig. 22 el23.

Fig. 24 i 27.

Fig. 24.

Fig. 23.

THÉORÈME

La somme des angles intérieurs d'un polygone est égale à deux angles droits multipliés par le nombre des côtés, moins 4 droits.

, Soit un polygone ABGDEF; d’un point O pris dans l’intérieur tirez des droites aux sommets de tous les angles, de manière que le polygone soit décomposé en autant de triangles AOB, BOC, etc., qu’il a de côtés ;'dans chacun de ces triangles la somme des angles est égale à 2 angles droits (p. 20); ainsi la somme des angles de tous ces triangles est égale à 2 angles droits multipliés par le nombre des côtés du polygone, et pour avoir la somme des angles du polygone, il suffit de retrancher de ce produit la somme des angles en O, laquelle vaut 4 angles droits. Donc multipliez 2 angles droits par le nombre des côtés du polygone, et retranchez de là 4 angles droits, le reste sera la somme des angles intérieurs du polygone.

Corollaire, Dans un quadrilatère, la somme des angles sera donc 2‘’x4 — 4' ou 4 droits; dans un pentagone, 2''x6 — 4“*= J droits; dans un hexagone, 2‘'x6 — 4'* = 8 droits; et en général dans un polygone.de n côtés, cette somme est 2'*Xn — 4“* ou 2‘'(n — 2).

DÉFINITION' XXI. Le quadrilatère qui a les côtés opposés parallèles se nomme parallélogramme. Dans un parallélogramme les côtés opposés sont égaux (p. 19), c’est-à-dire AB = CD , AD=BC. Les angles opposés sont aussi égaux (p. 17).

Parmi les parallélogrammes on distingue :

Définition xxii. Le rectangle, dans lequel les côtés opposés AD , BC, sont perpendiculaires aux deux autres AB, CD, de sorte que les 4 angles sont droits;

Définition xxiii. Le carré, dans lequel la même propriété a lieu , et où en outre les côtés adjacents AD , AB

UVRIj I.

sont t^aux; de sorte que dans cette dgure les 4 angles sont droits et les 4 côtés égaux ; '

DÈFiNiTioti XXIV. Le lozange est un parallélogramme Fig. 27. dont les côtés^ adjacents, et par conséquent les 4 côtés, sont égaux, les angles pouvant n’être pas droits.

TR^ORèlIE.

Un quadrilatère est un parallélogramme ; 1° si les côtés opposés sont égaux ; 2° si deux côtés opposés sont égaux et parallèles.

1 “ Soit AB = CD , AD = BC; je dis que la figure ABC!) Fig. 19. est un parallélogramme. En effet, tirez la diagonale AC; les triangles ABC, ADC auront le côté AC commun, le côté AB=CD le côté A D=:BC, par hypothèse; donc(p.8) ils sont égaux, et les angles ACD, BAC, opposés aux côtés égaux AD, BC, sont égaux. Mais ces angles ont par rapport aux droites AB, CD et AC, la position d’alternes internes.

Donc les droites AB, CD sont parallèles (p. lô, r. 1"). On prouve de même que AD est parallèle à BC; donc ABCD est un parallélogramme (d. 20). '

2“ Supposons AB égal et parallèle à CD , et tirons AC.

A cause des parallèles AB, CD, coupées par AG, les angles BAC, ACD sont égaux comme alternes internes. Donc les deux triangles BAC, DAC ont un angle égal compris entre côtés égaux chacun à chacun, savoir AC commun, AB =

DC par hypothèse; ainsi ils sont égaux (p. 6), et l’angle I^AC = ACB. De là on conclut (p. lô, r. 1®), que AD et BC sont parallèles, et que la figure ABCD est un parallélogramme (d. 20).

THÉORÈME

Dans tout parallélogramme , les diagonales AC, BD se Fig. 2i

il 27.

coupent mutuellement en deux parties égales et réciproquement.

Car la droite AB étant parallèle à DG, l’angle ABO = ODC (p. 16, l°),'et l’angle BAO=OCD; déplus, le côté AB=DC (p. 19). Donc ces deux triangles AOB, DOC sont égaux (p. 6), et les côtés AO, OC, opposés de part et d’autre à des angles égaux , sont égaux. De noéme DO=BO.

Réciproquement si AO = OC et BO=OD, les triangles AOB, DOC seront égaux comme ayant l’angle AOB=DOC (p. 4) compris entre côtés égaux (p. 5); donc les angles BAC, ACD, opposés à des côtés égaux, sont égaux, et (p. 15, r. 1**) les droites AB, DC sont parallèles; de même AD, BC sont parallèles, et la Bgure ABCD est un parallélogramme (d. 20).

Remarque. 1° Dans le rectangle les deux diagonales sont égales.

2° Dans le lozange les diagonales se coupent à angles droits. Car, comme le point B est également distant de A et C, de même que le point D, ces deux points sont sur la perpendiculaire élevée au milieu de AC (p. 13); donc BD est cette perpendiculaire.

3° Dans le carré , qui est à la fois un rectangle et un lozange, les diagonales sont égales, se coupent à angles droits et en parties égales.