C.ÉOMÉTRIt

THÉonÈMK.

Dans tout triangle sphérique convexe, la somme des angles est comprise entre deux angles droits et six angles droits.

En ciîet, chaque angle d’un triangle sphérique convexe est moindre que deux droits; donc la somme des trois angles est moindre que six droits. De plus , chaque angle du triangle est le supplément d’un côté du triangle supplémentaire, et vaut, par conséquent, une demi -circonférence moins ce côté; par suite, la somme des trois angles du triangle vaut trois demi-circonférences, moins les trois côtés du trianglesupplémcntairc; or, ces trois côtés valent moins que deux demi-circonférences (p. 6) ; si donc de trois demi - circonférences on retranche une quantité moindre que deux demi-circonférences, le reste sera plus grand qu’une demi-circonférence. La somme des trois angles ayant pour mesure un arc plus grand qu’une demi-circonférence, cette somme est elle-même plus grande que deux angles droits.

Corollaire 1 . La somme des angles dièdres d’un angle trièdre convexe a donc les mêmes limites.

liemarque 1. Entre ces limites on ne peut pas prendre à volonté tes trois angles d'un triangle sphérique. En eftet, appelons A, B, G les trois angles, D l’angle droit; les côtés du triangle supplémentaire sont 2D— A , 2U — B , 2D— G , et pour que ce triangle soit possible, il faut que le plus grand do ses côtés soit moindre que la somme des deux autres (p. 7]. Soit A le plus petit des trois angles A , D, G, le plus grand côté du triangle supplémentaire sera 2D — A ; donc il faut que

2D- A < 2D-B 2D— G , d'où B G <C2D -t- A ,

Ainsi il faut en outre que le plus petit angle A , augmenté de