LIVRE VII

deux droite , donne une somme plus grande que la somme des deux autres. Du reste, si cette condition est remplie , la somme * des angles est nécessairement moindre que six droits. La réciproque n'est pas vraie.

On voit, d'après cela, qu'avec trois angles tels que A = 10°,

B= 120°, G = 115°, on ne saurait former un triangle sphérique.

Remarque 2. Dans un triangle sphérique il peut y avoir Fig. 200 . deux , et même trois angles droits. Pour former un trian. gle dont les trois angles soient droits, on mène par le centre de la sphère trois plans perpendiculaires entre eux, tels que les plans ADCO, AEB , DEO; ces trois plans décomposent la surface de la sphère en huit triangles égaux au triangle AEO, dont les angles en A, E, O sont droits, et dont les côtés AE, EO, AO sont des quadrants. Ces triangles dont chacun est la huitième partie de la surface de la sphère, se nomment triangles trirectangles. L’angle trièdre correspondant , BEAO se nomme angle trirectangle.

Définition xi. Deux triangles sphériques qui ont les côtés égaux chacun à chacun , sans pouvoir se superposer, sont appelés symétriques.

Pour former le symétrique d’un triangle ABC , joignez Fig. 196. les trois sommets A, B, C au centre O de la sphère, et prolongez les rayons AO, BO, CO jusqu’à ce qu’ils coupent de nouveau la surface de la sphère en A', B', C'; menez les arcs de grand cercle A'C', A'B', B'C'; comme les angles trièdres OABÏ!, OA'B'C' ont tous leurs éléments égaux deux à deux, il en sera de môme des triangles ABC, A'B'C'.

Si d’ailleurs ces triangles pouvaient se superposer, il en serait de même des angles trièdres , qui sont symétriques (I. 5,p. 22, r. \).

itemarque. En comparinl toujours les triangles sphériques avec les angles trièdres correspondants, et se rappelant ce qui a été dit aux propositions 22, 25 du livre 5, on reconnaîtra que deux triangles sphériques sont égaux ou symétriques, s'ils ont :

1° Les trois côtés égaux chacun à chacun;

GKOMÉTRIE.

2° Cnangle égal compris eolre deux côtés égaox cbacanàchacnn;

3° Un côté égal adjacent à deax angles égaux chacun à chacun ;

4° Les trois angles égaux chacun à chacun ;

On reconnaîtra encore que : 1° deux triangles sphériques symétriques sont superposables s'ils sont isoscèles ;

2" Dans on triangle sphérique isoscèle , les angles opposés aux côtés égaux sont égaux et réciproquement;

3° Qne dans on même triangle sphérique le plus grand côté est opposé au plus grand angle et réciproquement.

On peut démontrer ces propriétés à peu près comme celles qui leur répondent dans le premier livre.

DÉFiifiTiON xii. Un plan mené par un point d’une surface est dit tangent en ce point à la surface, s’il est tel qu’aucun autre plan , mené par le même point , ne peut , aux environs de ce point, passer entre la surface et le premier plan.

THéORÈMi;.

Un plan mené par un point d’uns surface cylindrique ou conique droite, est tangent à la surface en ce point, s’il contient V arête qui passe en ce point, et la tangente à la section droits en ce même point. De plus ce plan est tangent sn tous les points de cette arête.

Fig. 190. Soit K un point d’on cylindre droit, HFl'arôte qui y passe, MEN . la section droite, O son centre, KK' la langehte à cette section au point K : les deux droites BF, KK' déterminent un plan DK'. Si ' par le point K on mène un plan différent de cclni-là, ce second plan contiendra l’aréto HF, on ne la contiendra pas. Dans le premier cas, il ne saurait contenir la tangente KK', et coupera le plan MKN en une droite KM différente de KK'. Cette droite KM étant une sécante au cercle KO, te coupera en un second point M , et par conséquent le plan MHF coupera encore le cylindre suivant l’aréte MC : donc toute la partie dn cylindre comprise entre les arêtes CM , HK sera renfermée entre ce second plan MHF et le plan BKK' ; donc aux environs du point K ce second plan MHF ne passe pas entre le plan HKK' et le cylindre. Que si l’on mène par