LIVRE VII

le point K nn plan qui ne renferme pas l'aréte HK, ce plan coupera celte arite et tontes les antres; ainsi une partie dn cylindre, aux environs du point K est comprise entre les deux plans. Donc enQn, le plan HK' est tangent an cylindre en K. Il l’est aussi en tout autre point H de l’aréte IIF. Car si au point H on fait nne section droite CHU, ayant son centre en A, le rayon AH sera parallèle à OK (I. 5, p. 91; si donc an point H on mène HH' parallèle à KK', cette droite HH' sera dans le plan CHU, et l’angle AHH' sera égal à OKK' (I. 5. p. 12) qni est droit ; l’angle AHH' l’est donc aussi , et la droite HH' est tangente an cercle CHC. Comme celte tangente HH' est parallèle à KK', elle est dans le plan HKK'. Donc ce plan contient la tangente en H è la section droite et l'aréte HF; il est donc aussi tangent en H. On'raisonne de même pour tont antre point de HF.

Dans le cas dn cône le raisonnement est à peu près le même (fig. 192).

Corollaire. Par tont point pris hors d’on cylindre ou d’un cône droits, on peut mener deux plans tangents.'En effet, menons par le point D une section droite GEK; de ce même point D menons à cette section les deux tangentes DG, DG, et paroles points de contact E , G, les deux arêtes EF, GH; les plans DEF, D6H seront les plans demandés.

Si dans le cas du cône le plan de la section droite mené par le point D passe au sommet, il suffira de joindre ce point D an sommet, et de mener par ce même point D un plan perpendiculaire à la droite DA ainsi obtenue. Ce plan coupe le cône suivant deux arêtes dont chacune, avec DA , détermine un plan tangent.

Dèfixitiok XIII. Dne partie quelconque d’une surface est dite développable, si elle peut être développée sur un plan, sans déchirure ni doplicature.

THÉORÈME

Le cylindre droit est développable.

On peut faire rouler nne circonférence de cercle sur nne de ses tangentes, de manière que l’arc A'B dont les points sont successivement venus se placer sur la tangente soit égal â la distance 00' parcouru par le centre, on à la partie AB de la tangente, sur

Fig. 201 et 202.

Fig. 190 bis. .

aÉOMRTRIE.

laquelle le cercle a roulé. Chaque point de l'arc 4'B sera venu à son tour so confondre avec on point distinct de AB, et de mémo chaque point de AB aura été à son tour superposé avec un point distinct de A' B.

On pourra donc de môme faire rouler le cylindre sur son plan tangent, de manière que chacune de ses sections droites roule sur sa tangente. Chaque arête du cylindre viendra à son tour se placer snrle plan langent, et occupera une position que nulle autre arête n'aura prise ni ne prendra; chaque section droite se déroulera ou se développera sur sa tangente , de sorte qne si le cylindre est terminé à deux sections droites, et que l'on continue le mouvement jusqu'à ce que toutes les sections droites se soient développées , chacune tout entière , le cylindre se sera déroulé sur un rectangle ayant pour base la circonférence de celle du cylindre , développée en ligne droite, et pour hauteur celle du cylindre même. Comme tous les points de la surface du cylindre ont successivement co'incidé, chacun avec un point do ce rectangle, l'aire de celui-ci est égal à colle do la surface du cylindre.

TRÉORÈUB.

Fig. ^2. Ze cône droit, pris à partir du sommet, est développable.

Si deux cercles ont une tangente commune , que ces cercles soient dans un même plan ou non, on peut supposer que l’un des deux reste fixe , et que l'autre roule sur le premier, et s’y développe soit en partie, soit en totalité. D'après cela, on reconnaîtra, à peu près comme à la proposition 12, que si du sommet A comme centre dn rayon AF, et dans le plan qui est tangent en F an câne droit ACL, on décrit un arc de cercle égal en longueur à la circonférence de la section droite CFL, le cône se développera sur un secteur ayant pour centre le point A, et pour base l’arc en question.

THÉORÈME

Fig. 193. Un plan K AI mené par un point A de la surface d’une sphère kB,.est tangent à la sphère gn ce point, s’il est perpendiculaire au rayon AB mené à ce même point.