LIVRE VII

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lui-méme p^t être regardé comme un prisme droit d’une infinité de faces. Or, ia surface latérale du prisme droit est égale au produit de la hauteur par le périmètre de la base. (I. 6, p. 9, c.) Donc celle du cylindre droit est aussi égale au produit de la hauteur par la circonférence de la base.

Cette propriété résulte immédiatcnient de c. 1 , p. 12, où il est prouvé que la surface convexe du cylindre se développe en on rectangle. . ,

Corollaire 1. Soit r le rayon de la base, h la hauteur; l’expression de la surface convexe est Stt r h.

Corollaire 2. L’aire du fuseau cylindrique est égale à l’arc qui lui sert de base multiplié par la hauteur.

Corollaire 3. Lee tarfacee convexes de deux cylindres semblables sont entre elles comme les carrés des dimensions homologues. Car soient S, s ces surfaces, R, r les rayons , U, A les hauteurs. Puisque les cylindres sont semblables , les rectangles générateurs le sont ( p. 15 , c. 3} , et l’on a

mais on a aussi 2 itR : 2irr : ; R : r ,

d’où , multipliant 2rRH : 2rrA : : R’ : r’,

ou S:,5:;R’:r’ on : : H’ ; A’ : : etc.

Les surfaces totales, bases comprises, sont dans le mémo rapport.

THÉORÈME

Le volume du cylindre droit est égal à la surface de la base multipliée par la hauteur.

Cette propriété est évidente si l’on considère encore le cylindre comme un prisme d’une infinité de faces. Car (1. 6, p. 12) le volume d’un prisme est égal à la surface de la base multipliée par la hauteur.

Soient  , a les aires de deux polygones réguliers inflnitésimaux et semblables, le premier étant circonscrit, le second inscrit à

iliO

la base du cylindre ; h la hauteur. La dirrérence dt^ volumes des prismes, circonscrit et inscrit, qui ont ces polygones pour bases, est (A— ajb, quantité infiniment petite, puisque A— a l’est (I. 4). Donc le cylindre compris entre les deux prismes diffère infiniment peu do chacun de ces prismes , et si l’on prend la relation volume du prisme circonscrit = A X h, pour y négliger les infiniment pelils, on a

volume du cylindre — aire de la base X h.

Corollaire 1 . Le rayon de la base étant r, le volume du cylindre sera jrrVt.

Fig. 205. Corollaire 2. Vonglet cylindrique est le corps compris entre un fuseau Bw CC'm'B', et les plans BB'0'0 , CC'0'0 menés par l’axe et par les arêtes limites du fuseau. Ce corps a pour volume le produit de sa hauteur par l’aire du secteur circulaire B/nCO qui lui sert de base.

Le segment de cylindre est le corps compris entre un fuseau BmCC'm'B' , et le plan BCC'B' mené par ses deux arêtes limites. Il a pour mesure le produit de la hauteur 00' par l’aire du segment de cercle BC/n qui lui sert de base.

CoroUaire 3. Les volumes des cylindres semblables sont comme les cubes des dimensions bomologocs. Car si R , r sont les rayons, II , h les hauteurs , on a

mais TtR’ : Jtr’ :: R* : r’ ;

multipliant , on a

rR’U : nr h : : R3 ; r’ on : : : ft3.

DÈFtiiiTion xFiii. Une pyramide est dite inscrite ou circonscrite à un cône droit, lorsqu’elle a pour sommet celui du cône, et pour base un polygone’ inscrit ou circonscrit à la base du cône.