LIVRE VII

La surface convexe du chne droit est égale à la moitié de l’arête multipliée par la circonférence de la base.

Circonscrivez à la base du cône un polygone régulier Fij. £06. infinilcsimal, el joignez-en les sommets au sommet du cône; vous déterminerez ainsi une pyramide régulière circonscrite. Soit FG un côté du polygone, H le point de contact; si l’on joint DH, cette droite est perpendiculaire à FG, et par suite ÀH est aussi perpendiculaire à FG (I. 5, p. 6); donc ÂH, qui est l’aréte du cône, est aussi l’apotbcme de la pyramide. Mais la surface latérale de la pyramide a pour mesure la moitié de cet apothème multipliée par le périmètre de la base (I. 6, p. 10). Donc la surface du cône qui se confond avec cette pyramide, si l’on considère le cercle comme un polygone infinitésimal , aura pour mesure la moitié de l’aréte multipliée par la circonférence de la base.

Celle proposilion résulte du développemenl du cône (p. 13).

Corollaire 1. Soit r le rayon de la base, c le côté; la

surface du cône aura pour mesure ^ c X 2jtr ou Tir. c.

Corollaire 2. he fuseau conique, c’est-à-dire la portion de la surface du cône que déterminent deux arêtes quelconques, a pour mesure la moitié de l’aréte multipliée par l’arc compris entre ces mêmes arêtes sur la circonférence de la base.

Corollaire 3. Les surfaces latérales ou totales de deux cônes semblables sont comme les carrés des dimensions homologues.

Définition xrx.On appelle tronc de cône droit à bases pij, 207. parallèles le corps CMBEGF compris entre la base CMB d’un cône droit et une section FGE parallèle à la base.

Ce corps peut élre engendré par un trapèze HDBË, ayant des angles droits en D et H, et tournant autour du côté DH. Les droites HE, DB décrivent deux cercles qui sont les bases parallèles; la droite *£B, qu’on nomme le côté du tronc du cône, décrit la surface latérale; DH en est la hauteur.

THÉOHÈBIE.

La surface latérale du tronc de cône droit a pour mesure le produit du côté par la demi-somme des circonférences des bases ou par la circonférence d'une section faite à égales distances des bases.

Fig. 207 . l» Soit le tronc de cône CMBEGF ; prolongez le côté BE et la hauteur DH jusqu’à leur rencontre en A; AD sera la hauteur du cône entier, AB sera le côté de ce même cône. Au points élevez à AB une perpendiculaire BI; supposons cette perpendiculaire égale à la longueur de la circonférence DB développée, et joignons AI ; du point E soit menée la droite EK parallèle à BI. A cause des triangles semblables, on aura

BI:EK::BA :EA::BDiEH, et par conséquent : : 2 7T. BD : 2 ;r. EH.

Or, BI, par hypothèse, est égaleà 2 n. BD ; donc EK = 2 71 EH.

Cela posé, le triangle ABI a pour mesure ^ AB X BI

(I. 4 , p. 3) ; la surface convexe du cône ACB est ^gale à

2 ABx2 7tBD (p. 18). Donc le triangle ABI est équivalent à la surface convexe du cône ACB. De même le triangle ÀKE est équivalent à la surface du petit cône AFE; donc le trapèze EBIK, différence des deux triangles, est équivalent à la surface du tronc de cône, différence des

LIVRK VII.

Jeux cônes. Mais Je trapèze (I. 4, p. 4) a pour mesure EK — f- BI

EB X ; Jpnc la surface du tronc de cône a pour

mesure son côté multiplié par la demi-somme des circonférences des bases.

2“ Soit L le milieu du côté EB ; de ce point L menons la droite LQ parallèle à BI, et le plan LP parallèle aux bases du tronc de cône. Le trapèze BIKE a aussi pour mesure BE X LQ (I. 4, p. 4); mais on peut prouver que LQ est égale à circonférence LO; donc la surface du' tronc de cône a encore pour mesure BE X cire. LO ou 2?!. BE. LO.

Remarque, La surface convexe du cône entier a aussi pour mesure son côté multiplié par la circonférence de la section faite à égales distances entre le somiiH|ct la base.

Car on a (p. 18) surface ACMB = AB X ^ cire. DB. Or,

si par le point E, supposé au milieu de AB, on fait une section EGF, parallèle à la base CMB, on a

Cire. DB : cire. HE DB ; HE ; : AB : AE ; : 2 : 1.

Doncci>c.HE = -circ. DB, et la surfaceducônc= ABx cire. HE.

THÉORÈME

Le volume du cône droit est égal d la surface de la base multipliée par le tiers de la hauteur.

Si l’on regarde le cercle comme un polygone infinitésimal , le cône est une pyramide qui a pour mesure de son volume le produit de la base par le tiers de la hauteur (I. 6, p. 16).

Soient S. ( lei aires de deux polygones réguliers inAnilésitnanx cl semblables , l'un circonscrit , l'autre inscrit i la base du cône ;

12^4 GÉOHÉTRIK.

les pyramides qui auront pour bases ces polygones et pour sommet

lo sommet du cône, auront pour volumes r A. et -s. A, labau- ' 3* 3

leur commune étant A. Or la différence de ces deux expressions, — AX(S — s), est infiniment petite; donc la différence entre chacune de ces pyramides et le cône l’est aussi. Prenant donc la relation voiums d» la pyramide cireonierite = ^ S. A.

et négligeant les infiniment petits, on a

volume du cône = ^ AXI’afra ds la base.

Corollaire 1. Si r est le rayon de la base, le volume du cône est - yrr’ h.

Fig. 206. Corollaire 2. L’onglet conique, c’est-à-dire le corps intercepté dans le cône par deux plans BDÂ , EDÂ conduits suivant l’axe, a pour mesure sa base, le secteur 6DE, multipliée par le tiers de ÂD.

Le segment conique, compris entre le fuseau ABHE et le plan ÀBE, a aussi pour mesure le produit du segment de cercle BEH, multiplié par le tiers de AD.

Corollaire 3. Les volumes des cônes semblables sont comme les cubes des dimensions homologues.

PROPOSITION XXL

THÉORÈME

Le volume du tronc de cône droit à bases parallèles est égal à la somme de trois cônes ayant pour hauteur commune la hauteur du tronc , et pour bases , l’un la base inférieure , l’autre, la base supérieure, et le troisième , une moyenne proportionnelle entre les deux bases.

Si l’on regarde le cercle comme un polygone infinitési-

mal, le tronc de cône devient un tronc de pyramide. Or, la propriété énoncée dans cette proposition est vraie pour ce dernier corps (I. 6 , p. 16) ; donc elle l’est pour le tronc de cône.

En etret, soient ABC, abc les bases du tronc, S lo sommet du Fig. 208. cône total. lascrivons au cône une pyramide inflnilésimale , et soit y ie volume du tronc de pyramide, tronc terminé aux plans ABC ’ abc; la différence entre les deux troncs, différence moindre que la différence entre le câne et la pyramide, sera iufloimeut petite.

Soient P, P', P", les trois pyramides dont la somme reproduit lu tronc y, d’après prop. 16, I. 6. Les trois cônes indiqués dans l'énoncé ont même baoleur que ces pyramides; les bases diffèrent intiniment peu, respectivement. Donc il en est de môme des volumes. Prenant donc 1a relation y = P-f-P'-(-P", et négligeant les infiniment petits on retombe sur la proposition à prouver.

Corollaire 1, Soient R, r les rayons des bases; leurs surfaces seront nR ' , nr' ; la moyenne proportionnelle sera

^ txR xnr' = ^n'Rr' ~n Rr.

Soit h la hauteur du tronc , son volume est

g h. TT./î’-t- J hn.Rr— g nhiR r' Rr)

Ktmarqut sur U volume du cylindre et du câne. On appelle cyliii. dre oblique le corps terminé par une surface cylindrique circulaire qui n'est pas droite, et par deux plans parallèles au cercle directeur. Ces plans, qui sont des cercles , sont appelés les bases du cylindre; la hauteur du cylindre est la distance de ces bases. Par un raisonnement presque identique avec celui de la prop. 16 , on démontrera que le cylindre oblique a pour volume le produit de U base par ia hauteur.

Le cône oblique est le corps terminé par une nappe de cône cir • culairc non droit, et par un plan parallèle au cercle directeur ; co plan , qui est un cercle , se nomme la base; la hauteur est la distance du sommet an plan de la base. Deux plans parallèles au cercle directeur comprennent entre eux le tronc de cône obliqu<'.

■ GÉUMLTRIL'.

Les propositions 20 cl 21 s’appliqnent , la première an c&no oblique J la seconde au tronc de cône oblique.

Fig. 209, DÉFiaiTiON x\. Pendant que le demi-cercle ADB tournant autour du diamètre AD, décrit la sphère , un arc tel que BC décrit une surface qu’on appelle zône sphérique ; les perpendiculaires BE, CF, abaissées des extrémités B,C de l’arc sur AD, décrivenl deux cercles qu’on appelle les bases de la zône; EF en est la hauteur. Cette zône s’appelle zône à deux bases. Celle que décrit l’arc AB se nomme zône à une base ou calotte ; sa hauteur est AE. La hauteur d’une zône n’est autre chose que la projection de l’arc générateur sur le diamètre AD qui sert d’axe.

THÉORÈME

Fig. 210. Soient AD, DC, CB, etc,’, plusieurs droites contiguës , égales et également inclinées, O le centre du cercle inscrit au contour ADCB ; si ce contour , situé du même côté du diamètre AI mené par un sommet extrême A , tourne autour de ce diamètre , la surface décrite a pour mesure la circonférence du cercle inscrit multipliée par la projection de ADCB sur l’axe AI.

Des sommets B , C , D menez sur l’axe les perpendiculaires BB', CC', DD'. Du centre O menez sur CD la perpendiculaire OE, qui tombera au point E, milieu de CD; de ce point E menez EF perpendiculaire à l’axe, et du point D conduisez DG parallèle au même axe. Le trapèze CC'D’D, tournant autour de AI , décrit un tronc de cône dont la surface conyexe , engendrée par CD, a pour mesure le côté CD, multiplié par la circonférence qui a pour rayon EF (p. 19) ; désignant cette surface par surface CD, on a donc Surface CD = 2 jr FE X CD.

Or, les triangles CGD, EFO qui ont les côtés respecti-

UVRli VU. 2^7

veinenl pcrpemlicutaircs, soiil semblables (1. 3, p. 17), ei donnent