EF : DG :: OE : CD

d’où FExCD=OExDGou = OExC'D'.

De celle manière, l’expression de la surface CD devient = 2 71 OE X C'D'. On prouvera de même que surface BC = 2 7tOExB'C', et que surface AD = 2tiOEx AD'. Donc la somme de ces surfaces , ou surface ADCB = 2 7i OE X (AD'4-D'C’+C'B'), ou 27T.OEX AB'.

TBéoRÈME.

La surface d’une zdne sphérique a pour mesure la circonférence d’un grand cercle multipliée par la hauteur, et la surface de la sphère a pour mesure la circonférence d’un grand cercle multipliée par le diamètre.

En effet , si l’on regarde le cercle comme un polygone régulier d’une infinité de côtés , la surface engendrée par une portion de ce polygone , aura , comme on l’a prouvé dans le théorème précédent, pour mesure la circonférence du cercle inscrit multipliée par la projection du contour générateur. Or, dans ce cas le cercle inscrit se confond avec le grand cercle de la sphère. S’il s’agit d’une zône à une base décrite par l’arc AB, ou d’une zône à deux bases Fig. 200 . décrite par l’arc BC, la projection du contour générateur n’est autre chose que la hauteur AE ou EF de la zône. S’il s’agit de la sphère entière décrite par la demi-circonférence AGD, la projection du contour générateur se réduit au diamètre AD. Donc toute zône a pour mesure la circonférence d’un grand cercle multipliée par la hauteur, et la surface de la sphère a pour mesure la même circonférence multipliée par le diamètre.

G^iUX^TRIE.

Fig. 21^- ^oit d’aburd une zôue à une base décrite par l'arc abed. Inscrivez à l’arc générateur une série de cordes égales formant le contour polygonal abc<2; et par rapport au point O pris pour centredo similitude, circonscrivez un polygone semblable ABCD; des points d. D menez sur l’axe les perpendiculaires dd'.DD', et du centre O sur CD la perpendiculaire OE coupant cd en h. La zône décrite pai> abcd est enveloppée par la surface que décrit le contour ABCDd . et ces deux surfaces se terminent toutes doux au plan circulaire que décrit la droite <fd'. Ija zône est donc plus petite que la surface que décrit ce contour. Par une raison'sëmblable, la zAne est plus grande que la surface décrite par le contour polygonal inscrit abcd. Or la surface ABCDdse compose de la surface du tronc de cône inOniment petit décrite par Dd . et de la surface décrite par ABCD qui a pour mesure ( p. 22 )... 2vOE X AD'. La surface décrite par le polygone abed a pour mesure 2nOhXad'. Mais OE diffère infiniment peu de Oh. AD' diffère inflniment peu de ad', et la surface du tronc decôno Dd est inflniment petite. Donc les deux surfaces qui comprennent la zône, diffèrent infiniment peu l'une de l’autre et de la zône. Prenant donc la relation

surface abed — 2rr. Oh X ad' et négligeant les infiniment petits , on a

sâne abd = 2-K. OE. ad'.

Soit en second lieu la zône à deux bases engendrée par l’arc LI; on a *di»a ml = 2n. Om X *nK ,

xdnamL=27t. OmXmH, retranchant, on a zone 1L = 2jt. OmXKIl.

Enfin, si l’on considère les zônes engendrées par les deux arcs supplémentaires al , ml, on aura

zône al -I- zône ml = 2n Oa X (oK -H mK) ou sphère Oa = OaXam.

Ainsi la surface de la sphère est égale i la circonférence d'un grand cercle multipliée par le diamètre.

- Corollaire 1. Soit r le rayon d’une sphère, A la hauteur d’une zône; sa surface sera 2 tc r. h.

La surface de la sphère sera 2 7 t r X 2r ou 4 jr r\ Comme le diamètre que nous nommerons d est égal à 2 r, on a i r"‘ = d', et l’expression de la surface de la sphère prend la forme n d’.