LIVRE Vil

La surface d’un grand cercle est 7i r’, celle de la sphère est 4 7 tr’; ainsi la surface de la sphère est égale à quatre grands cercles.

Corollaire 2. Si r et r' sont les rayons de deux sphères , leurs surfaces sont 4nr'‘, inr'^; or, on a

ÂTtr' : 47tr'* r”,

proportion qui prouve que les surfaces des sphères sont comme les carrés des rayons.

THÉORÈME

Si un triangle tourne autour d*un« droite AD menée par son sommet Fig. 212 A , et dont son plan , le corps décrit a pour mesure de son volume la 213. surface que décrit la base multipliée par le tiers de la hauteur du triangle.

11 ; a trois cas : 1° la base BC du triangle est parallèle à l'axe. Fig. 212. Menez la hauteur AE , et du point C la droite CF parallèle i AE.

Le rectangle AECF tournant antonr de AD décrit un cylindre droit

qui a pour volume (p. 16, c. 1) sAExEC. D'un autre c6lé, le triangle rectangle ACE tournant autour de AF décrit un cône droit

quiapodrTolome(p. 20, c. l)^:rAExEC. Donc le corps décrit

par le triangle AEC qui est la diirérence entre le rectangle ,\ECF et le triangle .ACF, aura pour mesure la ditTérenco de ces deux

expressions, différence qui est ;; tt. AEX EC , et qui peut se mettre

sous la forme- AEX 2 JT. AEX EC. Or 2 itAExEC est la surface

. lalérale du cylindre que décrit le rectangle AECF (p. 15, c. 1), ou bien la surface décrite par la base EC du triangle. Donc on a

volume AEC = AE X surface EC , on aura de même

volume AEB = - AE X surface EU ;

’ Pour les prop. 24 et 25, voyez la dernière note.

sâo ' GÉOMÉTRIE,

retrancbanl le premier du second , on a

volume ABC == ^ AE X surface BC.

S’il t'agit du triangle AB'C , on ajoute les volâmes des corps décrits par AEC , ÂB’E , et l’on a on résultat analogue.

Fig. ‘213. S" L’axe AD est un côté du triangle générateur ABD. Du point B menez sur l’axe la perpendiculaire BF. Le cône décrit par le trian-

gle ABF a pour mesure fp. 20, c. 1) - n.BFX AF. Celui qu’engen-

dre le triangle DBF a pour mesure - n . BF x DF. Ainsi la somme

de ces deux cônes donnera

columa ABD = Z TT . BF X AD

OU = - tt.BFxBFX AD.

Or BF X AD est le double de l’aire du triangle ABD ; mais si l’on mène AE perpendiculaire à BD , le double de cette aire est aussi égal à AE X BD ; donc

uolume ABD=- tt.BFXAEXBD

= |AEX"BFXBD;

d’un autre côté , tt . BF X BD est (p. 18 , c. 1) la surface convexe d u cône décrit par le triangle BFD , c'est-à-dire la surface décrite par BD; donc enfin

volume ABD = j AEX surface BD.

* 3° Le triangle générateur ABC tourne autour d'nne droite AD

qui rencontre la base BC prolongée.

On aura, d’après ce qu’on vient de prouver,

volume ABD = ^ AE X surface BD ,

volume ACD = j AE X surface CD , retranchant, on a

i.’oiumc ABC = ^ \ËX surface BC.