UK:IG::AB: AI

ÂiDsi HK= - IG, et 2;r.HK= r X 2r.lO , ou cire. HK= ^ cire. IG,

donc volume ABC = ABC X cire. HK.

Ainsi le corps décrit par le irtan,le ABC a pour mesure l'aire de

ce Iriartgle multipliée par la circonférence que décrit le point H pris

sur la droite quijoint le sommet au milieu de la base, aux deux tiers

de cette ligne à partir du sommet , ou au tiers à partir de la base.

Définitjok XXI. Le secteur sphérique est le corps dé- F'g- 2IC-. crit par un secteur circulaire AOB tournant 'autour d’un rayon cxirâiue BO. L’arc AB décrit une calotte qu’on noBime la base du secteur.

TBÉORÈaiE.

Le volume du secteur sphérique est égal à la calotte qui lui sert de base , multipliée par le tiers du^ rayon , et le volume de la sphère est égal à sa surface multipliée aussi par le tiers du rayon.

GEOHÜTRie.

Fig. 214. l" démonstration. Soit le secteur de cercle AOB tournant autour de OB , et engendrant un secteur sphérique. Divisez l’arc AB en parties égales infiniment petites AC , CD, etc. Par chacun de ces points de division menez un plan perpendiculaire à BO; ces plans couperont la sphère . suivant des cercles CC'C"..., DD'D" Considérant la cir-

conférence que décrit le point A autour de OB, divisez-la aussi en parties égales infiniment petites aux points A , A', A", etc.; joignez ces points au point B par des arcs de grand cercle ACB, A'C'B, A"C''B, etc. La surface de la calotte, base du secteur, se trouvera ainsi décomposée en quadrilatères à côtés infiniment petits , tels que AA'C'C , A'A''C"C', etc., auxquels se trouve Jointe la calotte infiniment petite décrite par l’arc BD. Cela fait, au point B on mène un plan tangent; on mène de même en D , D' , D" des plans tangents que l’on termine supérieurement au plan tangent en B , et latéralement chacun à son intersection avec le suivant. On fait de même en C, C, C... , A, A' , A"... Ces derniers seront terminés inférieurement au plan du cercle AA' A". On formera ainsi une surface polyédrale circonscrite à la calotte , et différant infiniment peu de cette calotte. Joignant les sommets a, a' ,a" , b, b' , b" , etc., de • cette surface polyédrale au point O , centre de la sphère , on formera un polyèdre qui diffère infiniment peu du secteur sphérique. Or, ce polyèdre peut être regardé comme composé de pyramides ayant toutes pour sommets le centre O, et pour bases les faces adb'b, bb'c'c.,.; les hauteurs de ,ces pyramides sont toutes égales au rayon. Car puisque la face aa'b'b est tangente à la sphère en A', le rayon OA' sera perpendiculaire à cette face; il en est de même des autres. Chacune de ces pyramides a donc pour mesure le produit de sa base ab' , a'b" , etc., par le tiers du rayon (I. 6, p. 15) , et^ar suite leur somme ou le polyèdre total a pour mesure la somme des bases, multipliée par le tiers du rayon. Donc le secteur sphéi’ique a aussi pour mesure la