LIVRE VII

calotte multipliée par le tiers du rayon. Rien n’cmpèchc de supposer que l’arc A B soit une demi-circonférence, et , par conséquent, la sphère entière a pour mesure sa surface multipliée par le tiers du rayon ’.

â' Démonstration. SoitadO le secteur circulaire générateur ; for- Fig. 211. mpz les polygones abcd, ABCD comme à- la fln de la proposition 23.

Joignez cO , 60. Le triangle dcO tournant autour de AO décrit

un corps qui* a pour mesure (p. 24) surf. cd. X » OA; de même le

corps décrit par le' triangle beO a pour mesure sarf. bex ^ OA , et celui que décrit abO a pour expression surf. abX 4 OA. Donc

le corps décrit par le polygone abedO a pour volume surf. abedX OA; on aura aussi volume ABC\)0 — surface ABCDx OE. Mais

surface abcd différé inflniment peu de surface ABCD. et ^ OA de

J OE. Donc ces deux corps dilTérent inflniment peu l’un de l’autre et du secteur sphérique adO.

On conclut de là , comme à l’ordinaire , que le secteur = calotte X ^rayoH, et que le volume de la sphère = surface rayon.

Corollaire 1. Soit r le rayon d’une sphère , h la hauteur d’une calotte. La surface de cette calotte sera (p. 23, c. 1)

2 TT r/t, et le volume du secteur dont elle est la base aura

pour e.\pression - r x2 ytr/i z= — nr^ h. La surface de la sphère (p. 23, c. 1) est Anr'' ; par conséquent son vo-

lume sera 4 Tir’ X ô ou ô

< On peut donner à ce raisonnement tonie la rigueur désirable.

sphérique X*^

Nommanl d le diamètre, on* a aussi pour la surface de

la sphère Tld'. Multipliant par - dqiii est égal à - r, on a

pour le volume ^ Jid^.

Corollaire 2. Les volumes des sphères sont comme les cubes des rayons ou des diamètres.

PROBLÈME

g. 2I0. ig tiolum« du corps décrit par un sei/ment de cercle BAE

tournant autour d'un rayon OF situé dans le plan du segment.

On suppose qne le rayon OF qui sert d'axe ne coupe pas le segment. Menez les rayons AO, BO, et des points A, B abaissez sur OF les perpendiQulaires AG , BH. Les secteurs sphériques décrits

parBOF, AOF ont pour mesure, respectivement - vAOxFH,

aAOXFG; leur différence , ou le corps décrit par BEAO, aura «I

pour mesure g « . AOxGH.

46 i du centre O on mène OD perpendiculaire sur AB, le corps décrit par le triangle BAÔ a pour mesure (p. 24), surface BA X

^ OD ; mais surfae» BA = 27r , ODx GH (p. 22) ; donc votums BAO

= 3 7 t. ODX GH.

Retranchant le corps décrit par le triangle ABO du corps décrit par le secteur BEAO , on a *

«oiume BAE = g tr ( AO— OD) X GH.

Or, dans le triangle rectangle ADO, on a AO-OD = AD=t: -7 AB.

Donc enflo volume BAE — ;; ir.ABXGII.