LIVRE Vit

Défixitiox XXII. Tout plan qui coupe la sphère , la divise en deux parties que l’on appelle des segments à une base ; la base est le cercle suivant lequel la sphère est coupée.

Deux plans parallèles qui coupent la sphère interceptent entre Fig^, 215. eux un corps que l’on nomme segment à deux bases : les bases sont les cercles suivant lesquels ces plans coupent la sphère.

Si de deux poiuts A , B pris sur nn arc dont le centre est O on mène des perpendiculaires sur un rayon FO qui ne coupe pas l’arc , et qu’on fasse tourner tonte la flgure autour do rayon FO , le demisegment AFG décrit un segment de sphère à une base ; la distance FG se nomme la hauteur du segment. La ilgnre AEBIIG tournant autour de FO décrit un segment à deux bases; AG, BH sont les rayons de ces bases , GH est la hauteur du segment.

proposition’ XXVII.

TBÉORtVE. *

Le segment de sphère à deux bases est égal à la demi-somme des Fig. 215. bases m ultipliée par la hauteur . plus la sphère qui a celle hauteur pour diamètre; si le segment n'a qu'une base . il est égal à la moitié de celle base multipliée par la hauteur, plus cette même sphère.

Soit le segment de sphère engendré par GAEBH autour du rayon FO; tirons la corde AB. Représentons, pour abréger, BH par R.

AG par r, GH par h.

Le trapèze GABH tournant autour de FO décrit nn tronc de cône dont le volume (p. 21 , c. 1) est

^%h(R'-hr‘-hRr) ou g rrh (2fl» +2r‘-»-2Rr).

Le segment de cercle BAE décrit on corps dont le volume (p. 26)

g X A AB. La somme de ces deux expressions donne ponr le

segment de sphère

- 7rA(2/i’-)-2r>-(-2rtr-i-AB).

Mais si du point A on mène AI perpendiculaire à BH, le triangle rectangle ABI donne

AB = ÂlV Bi’= ÂlV (BH -A G )’

GÉOMFTRIE.

OU AB = A’ + (fl— r)’ = A’ -H fl’-t- r’— 2flr.

Mettant pour ÀB cette valeur, le segment de sphère devient ^ 7iA(3fl’+3r'‘ + A’);

ce qui se décompose en

g »A(3fl’+3r’;-l- g "A3;

cette dernière partie g rrA^ est le volume de la sphère dont A est

le diamètre (p. 25, c. 1) ; la première est égale A A

(ttA’-I- nr’) ^ '

c'est-à-dire à la demi-somme des bases multipliée par la hauteur. Si l'on suppose r mil, celte expression devient celle du segment

sphérique à une base ; elle est dans ce cas ^ k fl’A-f- - n A3, c'est-

à-dire la moitié de la base par la bauleur, plug la sphère dont le diamètre est A.

THÉORÈME

Fig. 216. Le volume de la sphère est au volume du cylindre circonscrit, comme la surface de la sphère est à la surface totale du même cylindre , et comme '2 est à *

Soit ACBD le grand cercle d’une sphère, GFIH le carré circonscrit ; joignez les points de contact À et B par le diamètre AB, et supposez que la figure AFCIB tourne autour de AB. Le demi-cercle ACB engendrera la sphère, et le demi-carré AFIB décrira le cylindre circonscrit. Le volume

de la sphère est égal à ttH (p. 25, c. 1); mais la base du

cylindre est égale au grand cercle de la sphère jrr’; la hauteur AB est un diamètre 2 r, et le volume de ce corps est égal au produit de la base par la hauteur (p. 16), ou à nr^X'2 r = 2 Ttr^. Ainsi le volume de la sphère est à celui

Digilized by Goos^It