LIVRE VU

ilu cylindre : ; - tt r’ ; 2 tt r’ ou : : — : 2 : : 4 : 6 ; : 2 : 3.

Quant aux surfaces , celle de la sphère est 4 7t r' (p. 23 , c, 1). Celle du cylindre est cire. BI x AB (p. 16), pu 2 7 T rX2r=4 Ttr’; ajoutant à celle-ci les deux bases dont chacune est 7tr', on a pour la surface totale de ce corps 6 Tir’. Les deux surfaces sont donc :: 4 n r’ : 6 jtr’ , ou : : 4 : 6 et : : 2 : 3 , rapport qui est aussi celui des volumes.

Remarque. Tout polyèdre dont les faces sont toutes tangentes à une sphère aura pour mesure sa surface multipliée par le tiers du rayon. Ainsi, deux polyèdres circonscritsà la sphère, et la sphère, sont entre eux comme leurs surfaces. Par exemple , si l’on considère un cylindre comme un prisme d’une infinité de faces, et un cône comme une pyramide d’une infinité de faces, on conclura que les volumes de ces corps supposés circonscrits à la sphère, et celui de la sphère sont comme leurs surfaces totales.

DÉFiKiTion XXIII. La surface comprise sur la sphère ng. 217 . entre deux demi-grands cercles ABC, ADG, qui se terminent à un diamètre commun AC, se nomme un fuseau sphérique; les deux demi-grands cercles ABC, ADC se nomment \es faces du fuseau. Si par le centre O de la sphère on mène un plan perpendiculaire au diamètre AC , ce plan coupe les faces suivant deux droites BO, DO dont l’angle mesure celui des faces (I. 5 , p. 19); on l’appelle Vangle du fuseau, et l’arc de grand cercle BD, qui mesure cet angle, est appelé l’arc du fuseau.

Défixitiox XXIV. Le corps compris entre le fuseau et ses deux faces se nomme onglet sphérique.

si58 .

THÉOrIvME.

. Le fuseau est à la surface de la sphère, comme l’onglet est au volume de la sphère , comme l’angle des faces est A quatre angles droits, et comme l’arc du fuseau est à une circonférence de grand cercle.

Fij. 217. • Soient ABC , ADC les faces du fuseau , BD son arc. Supposons que l’arc BD soit à la circonférence du grand cercle comme 3 : 16. Partagez l’arc BD en trois parties égales ; la circonférence BDE en contiendra 16 ; si par le diamètre AC et par ehacun des points de division on fait passer un plan, le fuseau ABCD sera décomposé en trois fuseaux, égaux comme répondant à des angles égaux, dans la même sphère; la surface de la sphère entière contiendra 16 de ces fuseaux; donc le fuseau ABCD est à la surface de la sphère : : 3 : 16 ou : : arc BD : cire. BO.

Un raisonnement semblable prouve que l’onglet ABCD est au volume de la sphère : : BD : cire. BO.

Si l'arc BD varie d’une manière continue, le fuseau et l’onglet varient de même. Donc les rapporls précédents sont encore égaux dans le cas où BD n'est pas conimcnsurablc avec la circonférence du grand cercle.

TBÉOBÊME.

L’aire du fuseau est égale à son arc multiplié par le diamètre ; le volume de l’onglet est égal au fuseau multiplié par le tiers du rayon.

Fig 217 vient de prouver que

Fuseau ABCD : surf, sphérique arc BD : cire. BO. Multipliant les termes du dernier rapport par le diamètre AC, on a

Fuseau ABCD : surf. sph. : : arc BD X AC : cire. BO X AC.