LIVRE VII. SÔ

Or, c/rc. ,BO X AC esl la surface de la sphère (p. 23); Cionc fuseau ABCD = arc BD X AC.

2" On a

Onglet ABCD : vol, de la sphère : '.fus. ABCD : sutf. sph.

Si l’on multiplie les deux derniers termes par ^ AO, le

dernier terme deviendra égal au second (p. 25) ; donc l’avant-dernier devient égal au premier, et l’on a

Onglet z= fuseau X ^ rayon.

Corollaire 1. Soit A l’angle du fuseau , D l’angle droit , r le rayon ; on aura arc BD ; circ. BO : : A : 4 T) : d’où

cire, BO xA 2 Tir. \ Tir A

arc BD=:

ci fuseau

2rXTirA

De là

l'onglet = ^ r X TT r’. - =- Ti. r*

Corollaire 2. Si l’on prend pour unité de surface le triangle sphérique trireclangle , et pour unité d’angle l’angle droit, la surface sphérique est égale à 8; mais A étant l’angle du fuseau,

Fuseau ; surf, sph, : : arc BD : circ. BO.

ou fuseau : 8 : : A : 4

d’où fuseau — A.

Et l’aire du fuseau est égale au double de son angle.

DÉFiifiTiON xxr. On appelle pyramide sphérique le corps intercepté dans la sphère par un angle polyèdre qui a son sommet au centre. Le polygone que cet angle inter-

crâuÉTRIl'.

'dÜO

copie sur la surface de la sphère est appelé la base de la pyramide. Si les angles polyèdres qui interceplent deux pyramides dans des sphères égales sont symétriques , les pyramides sont aussi appelées symétriques,

THÉORÈME

Deux triangles sphériques symétriques sont équivalents , et deux pyramides sphériques triangulaires symétriques sont équivalentes.

Fig. 218. SoitÀBCun triangle sphérique, O le centre de la sphère; tirez des diamètres par les points Â, 6 , G, pour déterminer le triangle A'B'C' symétrique de ABC (d. 1 1). Par les trois points A , B , C on pourra faire passer un plan qui coupera la sphère suivant un petit cercle ; soient D , D' les pôles de ce cercle; si l’un des pôles tombe dans l’intérieur du triangle ABC, l’autre tombera dans le triangle A'B'C, puisque DOD' est un diamètre (p. 9). Menez les arcs de grand cercle DA, DC, DB, D'A', D'C, D'B'. Puisque DD', BB' sont des droites, l’arc BD= B'D', de même AD=A'D', CD = C'D'. Les angles compris par les arcs égaux sont aussi égaux. Mais le point D étant le pôle du cercle qui passe par les trois points A, B, G, les trois arcs AD, DC , BD sont égaux entre eux. Ainsi les triangles ADB, A'D'B' sont isoscèles ; les angles Irièdres OADB, OA'D'B' le sont donc aussi, et comme ils ont les faces égales chacune à chacune , ils sont superposables (I. 6, p. 22 , r. 1) ; les triangles ADB, A'D'B' le sont donc aussi ; de même les triangles ADC = A'D'C, BDC=B'D'C. Donc le triangle ABC, égal à la somme des triangles ADC, BDC, ADB, sera équivalent au triangle A'B'C , qui est la somme des triangles A'D'C, B'D'C, A'D'B,

Si le pôle D tombait sur un côté AB, D' tomberait sur A'B', et ebacun des triangles ABC, A'B'C se composerait