LIVRE VII

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de deux triangles isoscèles qui seraient égaux deux à deux, de sorte que ÂBC serait encore équivalent à Â'B'C.

Enfin, si les pôles tombaient hors des deux triangles, chacun d’eux, comme le triangle abc , se composerait de deux triangles additifs ade, bdc, et d’un troisième triangle soustractifaôd, et la conclusion serait la même.

Quant aux pyramides OABC , OA'B'C', elles se trouvent aussi décomposées en parties superposables; car, lorsque l’angle trièdre OADC se superpose avec OA'D'C', les deux pyramides déterminées par ces angles coïncident. Donc les pyramides OÀBG , OA'B'C' sont équivalentes.

Corollaire. Le même raisonnement prouve aussi que les angles trièdres symétriques OABC , OA'B'C sont équivalents.

Remarque. Le cercle qui passe par les trois points A ,

B , C est un petit cercle; car si c’était un grand cercle, comme il passe par les deux points A , B , par lesquels on ne peut faire passer qu’un seul arc de grand cercle, l’arc AB se confondrait avec ce cercle (p. 5, c. 4), de même que les arcs BC, AC; donc le triangle ÂBC se changerait eu un arc de grand cercle, ce qui n’est pas.

TBÉORÈMi:.

Un triangle sphérique ABC est au triangle trirectangle • comme la pyramide OABC qui a pour base le premier triangle est à celle qui a pour base le second, et comme la somme des angles A.,R,C du triangle ABC , diminuée de deux angles droits, est à un angle droit.

Prenons pour unité d’angle l’angle droit, pour unité Fig. 219. de surface le triangle sphérique trirectangle, pour unité de volume la pyramide trirectangle.

Prolongez le côté AC pour achever le grand cercle dont il fait partie; prolongez également les côtés AB , CB jus-

qu’à la rencontre de ce cercle en D , E; les arcs ABO , CBE seront des demi-cercles (p. 5 , c. 2) , et par conséquent AOD , COE seront des diamètres.

Cela posé, 1° les triangles ABC, BCD forment le fuseau A6DC , dont l’angle est A et l’aire 2 A (p. 30 , c. 2). Les triangles ABC , ABE forment le fuseau dont l’angle est C et l’aire 2C. Enfin , si l’on prolonge les arcs BD, BE jusqu’au rayon BO prolongé en B', le triangle B'ED, symétrique de ABC, forme avec BED le fuseau dont l’angle est B et l’aire 2 B. Donc aussi ABC-j-BED équivaut à ce fuseau. Les triangles ABE + BED -f- BCD + trois fois le triangle ABC valent' donc en somme 2A+2B-I-2 C. Mais ces triangles font la demi-sphère -f-2 ABC ; donc, vu l’unité de surface, et la valeur de la sphère (p. 30, c. 2), on a

4 + 2 ABC = 2A-f-2B + 2C d’où ABC = A + B + C— 2.

2° Si dans les raisonnements qui précèdent on remplace les triangles par les pyramides sphériques dont ils sont les bases, les fuseaux par les onglets, on aura de même

pyr. OABC=: A + B + C — 2.

Or ici ABC est le rapport du triangle sphérique au triangle trirectangle; OABC est le rapport de la pyramide sphérique à la pyramide trirectangle; enfin A+B+C — 2 n’est autre chose que la somme des angles moins deux droits, rapportée à l’angle droit. Donc, etc.

Corollaire 1. Représentons l’angle droit par D , le rayon . de la sphère par r; l’aire du triangle par T, en prenant pour imité d’aire le carré fait sur l’unité de longueur. Dans cc cas, la surface de la sphère est (p. 23 , c. 1) 4 te r’ , et l’aire du triangle trirectangle, qui en est le huitième,

vaut - nr\

En vertu du théorème ci-dessus , on a donc

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