LIVRE VII

d’où

T : ^ Ttr^ :: A + B + C— 2D:D, • 1 A+B-hC— 2D

ï=- 7tr' .

Corollaire 2. Le volume de la sphère est (p. 25, c. 1 )

7 ir^; celui de la pyramide trireclangle est donc -X = T TTH.

Nommons P le volume de la pyramide sphérique triangulaire rapportée à la même unité que la sphère; on aura aussi

d’où

P:s7lH::A-l-B-f-C-2D:D,

P=- Ttr^- — î-

= - rX- 71 r\

Ce qui prouve que le volume de la pyramide sphérique triangulaire est égal au triangle sphérique correspondant multiplié par le tiers du rayon.

Comme une pyramide sphérique polygonale peut se décomposer en pyramides triangulaires, il s’ensuit qu’elle a aussi pour mesure la surface du polygone sphérique qui lui sert de base, multipliée par le tiers du rayon.

Remarque. L’angle trièdre est au Irièdre trirectaagle , comme la somme des mesures des trois dièdres du premier, diminuée de deux angles droits, est à l’angle droit.

En effet soit le irièdre OABC. Ayant décrit du sommet Fig. 219. O comme centre une sphère arbitraire et fait la même

construction que ci-dessus, on prendra pour unité de tricdre celui qui est trirectangle, et pour unité de dièdre le dièdre droit. Si dans ce dernier on mène un plan perpendiculaire à l’arète, on le décomposera en deux trièdres trirectangles. Cela posé, les deux trièdres OBCA , OBEA valent ensemble le dièdre C, et comme l’unité de mesure de celui-ci est double de l’unité de mesure des trièdres, la valeur numérique de la somme des trièdres sera double de celle du dièdre ; donc

OBCA -H OBEA = 2 C.

Continuant ainsi d’imiter les raisonnements faits sur la pyramide, et remarquant que les quatre trièdres en O, qui s’appuient sur la demi-sphère, valent quatre trièdres trirectangles, on trouve trièdre OABC = A -+- B -f- C — 2. Ce qu’il fallait prouver.

Corollaire 3. Soit s la somme des angles d’un polygone sphérique, en prenant l’angle droit pour unité : soit n le nombre des côtés de ce polygone ; comme on peut le diviser en n triangles ayant pour sommet commun un point intérieur au polygone, la somme des angles de ces triangles est égale à f + 4 ; si de cette somme on retranche deux unités autant de fois qu’il y a de triangles, on aura f-t-4 — 2 n pour la mesure du polygone, de la pyramide et de l’angle polyèdre, en adoptant les mêmes unités.

Problèmes numériques.

1® Calculer à

^ ...... de mètre euhe près le volume

d’une pyramide sphérique dont la base triangulaire a pour angles A = 125° , B = 96°, C = 86“ , le rayon de la sphère étant O™, 14.

La somme des trois angles donnés est 306“ ; elle est comprise entre 180“ et 640“ (p. 10); de plus, le plus petit angle 86°, augmenté de 1 80°, donne 266, quantité plus grande