LIVRE VI. — PROPOSITION XII

Le volume d'un prisme quelconque est égal au produit de sa base par sa hauteur.

Si la proposition était démontrée pour le prisme triangulaire, elle serait immédiatement prouvée pour un prisme quelconque. En effet, soit un prisme polygonal ABCDEA'.

On partagera la base en triangles ABC, ADC, ADE; par les droites AC, AD on fait passer des plans qui contiennent Fi|;. -isi. l’arête AA' , cc qui décomposera le prisme donné en prismes triangulaires, dont chacun aura pour mesure le produit de sa base par la hauteur du prisme donné. l.eur somme aura donc pour mesure le produit de cette hauteur par la somme des bases, c’est-à-dire par la base ABCDE.

Quant au prisme triangulaire , supposons d’abord que ce soit un prisme triangulaire droit ABCA'B'C'. Du point B, sommet du plus grand des trois angles de la base ABC, menez BD perpendiculaire à AC; par BD et BB' i ,. 179 . faites passer le plan BD', qui partagera le prisme en deux autres ayant pour bases les triangles rectangles ABD, DBC.

Sur les triangles ABD, A'B'D' achevez les rectangles AEBD, A'E'B'D', et joignez EE'. Les deux prismes droits ABDD',

ABEE' seront superposables; en effet, la base ABD peut

GÉUMÉTBIb'.

aga

se placer sur AEB, cl les arèles latérales, toutes perpendiculaires aux bases, coïncideront comme étant d’ailleurs égales. Or, le parallélipidède rectangle ABEE'O a pour mesure aire ADBE X BB'; donc chacun de ces prismes a pour mesure la moitié de ce produit, ou ABDxBB'. Par une raison semblable, le prisme DBGB' a pour mesure BDCx BB'; donc le prisme donné a pour mesure (ABD-f-BDC) X BB' ou ABC xBB', c’est-à-dire le produit de la base par la hauteur.

Kig. 2^9. Soit enfin un prisme triangulaire oblique ABCGIH; je dis qu’il est équivalent au prisme droit ABCDEF,de même base et de même hauteur. En elTet, divisons la hauteur AD en parties égales infiniment petites. Ad, dd, etc. Par les points de division menons des plans parallèles à la base, lesquels partageront chacun des deux prismes en tranches égales* Soit ABCdef une tranche du prisme droit, ABCg(7t celle qui lui répond dans le prisme oblique; lirez ^i, ei, dg, lignes qui seront infiniment petites, comme inscrites dans les angles FGH, EBI, DAG, à des distailces infiniment petites des sommets respectifs; les figures feih, figd, dgke seront infiniment petites, et le pentagone deihf difiércra infiniment peu du triangle gA/. Des points/, h menez sur la base ABG les perpendiculaires //', hh, lesquels détermineront avec /G, dA, eB un prisme droit plus grand que chacune de nos deux tranches; répétant ce prisme autant de fois qu’il y a de couples de tranches ou de divisions dans AD, on aura un prisme droit dont la base est AB/'/t'G, la hauteur AD, et qui est plus grand que chacun des prismes donnés BDF, BGH. Menant des points g, k, l des perpendiculaires au plan ABG, on reconnaîtra que le prisme qui a pour base gkl et pour hauteur Ad est plus petit que chaque tranche, que par suite, si on prend pour base gkl et pour hauteur AD, on aura un prisme droit moindre que BDF cl BGH. Or, les prismes AB/'/i'Gx AD et g^/X AD, qui comprennent entre eux les prismes donnés.

diffèrent infiniment peu l’un de l’autre, puisqu’il en est ainsi de leurs bases, et qu’ils ont du reste même hauteur; donc les prismes proposés sont équivalents, et le prisme oblique a aussi pour mesure ABC XAD.